Calcule os gradientes das funções:
f(x, y)=cos x+yx^2+y^2.

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x,y)=cos u, onde definimos a parte interna u=x+yx^2+y^2. O objetivo é achar o gradiente nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y). Para isso, vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e a regra do quociente para derivar u.

Passo 2

Primeiro, calculamos partial u/partial x. Como u=ND com N=x+y e D=x^2+y^2, a regra do quociente diz que
partial upartial x =partial Npartial x,D - N,partial Dpartial xD^2 =1cdot(x^2+y^2) - (x+y)cdot 2x(x^2+y^2)^2 =x^2+y^2 - 2x(x+y)(x^2+y^2)^2

Passo 3

De forma análoga, calculamos partial u/partial y. Temos
partial upartial y =partial Npartial y,D - N,partial Dpartial yD^2 =1cdot(x^2+y^2) - (x+y)cdot 2y(x^2+y^2)^2 =x^2+y^2 - 2y(x+y)(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia em f(x,y)=cos u. A derivada de cos u em relação a u é -sin u. Logo,
partial fpartial x=-sin(u),partial upartial x, partial fpartial y=-sin(u),partial upartial y Substituindo as expressões de partial u/partial x e partial u/partial y, chegamos ao gradiente final.
Juntando tudo, o vetor gradiente é dado por substituir u=tfracx+yx^2+y^2 nas expressões de partial f/partial x e partial f/partial y.

Resposta

nabla f(x,y)=l(-sinl(tfracx+yx^2+y^2r)x^2+y^2-2x(x+y)(x^2+y^2)^2,; -sinl(tfracx+yx^2+y^2r)x^2+y^2-2y(x+y)(x^2+y^2)^2r).

Exercícios relacionados