Resolve a seguinte EDO:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial ordinária (EDO) para resolver:
Essa equação envolve derivadas de funções e, para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o método de equações exatas e fatores integrantes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos procurar um fator que dependa apenas de
ou apenas de
.
Vamos tentar um fator integrante que depende de
, ou seja,
. Para isso, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Essa expressão depende de
, o que complica a integração. Vamos tentar outra abordagem assumindo que o fator integrante depende de
.
Passo 4
Assumindo que o fator integrante depende de
, ou seja,
, a fórmula passa a ser:
Substituindo os valores:
Ainda, a expressão depende de
, então também não é conveniente. Vamos tentar outra estratégia.
Passo 5
Vamos reescrever a equação original:
Podemos dividir ambos os lados por
para simplificar:
Simplificando:
Agora, percebemos que a equação pode ser separada.
Passo 6
Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é direta:
Para o lado direito, vamos simplificar:
Assumindo que
é constante em relação a
, podemos separar a fração:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.