Resolve a seguinte EDO: (1+x) y d x+(1-y) x d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial ordinária (EDO) para resolver:
(1+x) y, dx + (1-y) x, dy = 0
Essa equação envolve derivadas de funções e, para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o método de equações exatas e fatores integrantes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação da forma M,dx + N,dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x.
Aqui, temos:
  • M = (1 + x)y
  • N = (1 - y)x
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = 1 + x
  • partial Npartial x = 1 - y
Como 1 + x neq 1 - y, a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos procurar um fator que dependa apenas de x ou apenas de y.
Vamos tentar um fator integrante que depende de x, ou seja, mu(x). Para isso, usamos a fórmula:
mu(x) = exp( integral partial Mpartial y - partial Npartial xN dx )
Substituindo os valores:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = (1 + x) - (1 - y)(1 - y)x = x + y(1 - y)x
Essa expressão depende de y, o que complica a integração. Vamos tentar outra abordagem assumindo que o fator integrante depende de y.

Passo 4

Assumindo que o fator integrante depende de y, ou seja, mu(y), a fórmula passa a ser:
mu(y) = exp( integral partial Npartial x - partial Mpartial yM dy )
Substituindo os valores:
partial Npartial x - partial Mpartial yM = (1 - y) - (1 + x)(1 + x)y = -x - 2y(1 + x)y
Ainda, a expressão depende de x, então também não é conveniente. Vamos tentar outra estratégia.

Passo 5

Vamos reescrever a equação original:
(1 + x)y, dx + (1 - y)x, dy = 0
Podemos dividir ambos os lados por x(1 + x)y para simplificar:
(1 + x)yx(1 + x)y dx + (1 - y)xx(1 + x)y dy = 0
Simplificando:
1x dx + 1 - y(1 + x)y dy = 0
Agora, percebemos que a equação pode ser separada.

Passo 6

Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis:
1x dx = -1 - y(1 + x)y dy
Integrando ambos os lados:
integral 1x dx = -integral 1 - y(1 + x)y dy
A integral do lado esquerdo é direta:
ln|x| + C
Para o lado direito, vamos simplificar:
-integral 1 - y(1 + x)y dy
Assumindo que x é constante em relação a y, podemos separar a fração:
-integral ( 1(1 + x)y - 11 + x ) dy = -11 + x ln|y| + y1 + x + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ln|x| = -11 + x ln|y| + y1 + x + C
Onde C é a constante de integração.

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