Ache
e determine onde
é contínua
e
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
.
Pede-se:
Pede-se:
- calcular
; - determinar onde
é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma função de duas variáveis com expressão linear; -
é a função logaritmo natural aplicada a , que só está definida quando .
Passo 2
Calcular a composição
substituindo
na expressão de
. Assim:
Substituindo
obtemos:
Simplificando a soma dentro do logaritmo:
Passo 3
Analisar a condição de existência (domínio) de
. A função
exige que o argumento do logaritmo seja positivo:
Como
, isso vira
Substituindo
e simplificando:
Portanto
só está definida quando
.
Passo 4
Explicar por que
é contínua no domínio encontrado.
Fatos úteis e fáceis de lembrar:
- Qualquer função polinomial ou afim (como
) é contínua em todo . Intuição: pequenas mudanças em produzem pequenas mudanças em . - A função
é contínua para (no intervalo ). Intuição: o logaritmo varia de forma suave quando o argumento é positivo. - Teorema da composição: se
é contínua num conjunto e é contínua num conjunto que contém , então é contínua em .
Aplicando isso aqui:
é contínua em todo
. A função
(aqui escrevendo
) é contínua para
. Onde
temos
mapeando para a região onde
é contínua. Logo a composição
é contínua exatamente em todos os pontos
que satisfazem
Passo 5
Interpretação geométrica e observações finais:
- O conjunto
é um semiplano aberto (a região acima da reta ). - Na reta
o argumento do logaritmo é zero e não está definido, portanto não está definida nem é contínua aí. - Em qualquer ponto interior ao semiplano (por exemplo
, pois ) está definida e é contínua.