Ache h(x, y)=g(f(x, y)) e determine onde h é contínua
f(x, y)=3 x+2 y-4 e g(t)=\\ln (t+5)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x,y)=3x+2y-4 e g(t)=\ln(t+5).
Pede-se:
  • calcular h(x,y)=g(f(x,y));
  • determinar onde h é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
  • f é uma função de duas variáveis com expressão linear;
  • g é a função logaritmo natural aplicada a t+5, que só está definida quando t+5>0.

Passo 2

Calcular a composição h(x,y)=g(f(x,y)) substituindo t=f(x,y) na expressão de g. Assim:
h(x,y)=\ln\bigl(f(x,y)+5\bigr).
Substituindo f(x,y)=3x+2y-4 obtemos:
h(x,y)=\ln\bigl(3x+2y-4+5\bigr).
Simplificando a soma dentro do logaritmo:
h(x,y)=\ln\bigl(3x+2y+1\bigr).

Passo 3

Analisar a condição de existência (domínio) de h. A função g(t)=\ln(t+5) exige que o argumento do logaritmo seja positivo:
t+5>0.
Como t=f(x,y), isso vira
f(x,y)+5>0.
Substituindo f(x,y)=3x+2y-4 e simplificando:
3x+2y-4+5>0 \quad\Rightarrow\quad 3x+2y+1>0.
Portanto h(x,y) só está definida quando \,3x+2y+1>0.

Passo 4

Explicar por que h é contínua no domínio encontrado.
Fatos úteis e fáceis de lembrar:
  • Qualquer função polinomial ou afim (como f(x,y)=3x+2y-4) é contínua em todo \mathbb{R}^2. Intuição: pequenas mudanças em x,y produzem pequenas mudanças em f(x,y).
  • A função \ln(u) é contínua para u>0 (no intervalo (0,\infty)). Intuição: o logaritmo varia de forma suave quando o argumento é positivo.
  • Teorema da composição: se f é contínua num conjunto A e g é contínua num conjunto que contém f(A), então g\circ f é contínua em A.
Aplicando isso aqui: f é contínua em todo \mathbb{R}^2. A função g(u)=\ln u (aqui escrevendo u=t+5) é contínua para u>0. Onde f(x,y)+5>0 temos f(x,y) mapeando para a região onde g é contínua. Logo a composição h(x,y)=\ln(3x+2y+1) é contínua exatamente em todos os pontos (x,y) que satisfazem
3x+2y+1>0.

Passo 5

Interpretação geométrica e observações finais:
  • O conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 3x+2y+1>0\} é um semiplano aberto (a região acima da reta 3x+2y+1=0).
  • Na reta 3x+2y+1=0 o argumento do logaritmo é zero e \ln não está definido, portanto h não está definida nem é contínua aí.
  • Em qualquer ponto interior ao semiplano (por exemplo (0,0), pois 3\cdot0+2\cdot0+1=1>0) h está definida e é contínua.

Resposta

h(x,y)=\ln\bigl(3x+2y+1\bigr)\n
h é contínua para \,(x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que \;3x+2y+1>0.

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