Mostre que o limite não existe
\lim _{(x, y) \mapsto(0,0)} \frac{2 x^{2}-y^{2}}{x^{2}-2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{2}-y^{2}}{x^{2}-2y^{2}}
não existe.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{2x^{2}-y^{2}}{x^{2}-2y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Devemos verificar o comportamento de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos e concluir se existe um único valor limite ou não.

Passo 2

Conceito rápido (explicando devagar): para que o limite de uma função de duas variáveis exista em um ponto, o valor de f(x,y) ao nos aproximarmos desse ponto deve tender ao mesmo número independente do caminho escolhido. Uma maneira prática e comum de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar pelo menos dois caminhos (por exemplo, duas retas que passam pela origem) ao longo dos quais os limites das restrições da função sejam diferentes. Se isso ocorrer, o limite em (0,0) não pode existir.

Passo 3

Primeiro caminho: pegar a reta y=0. Substituindo \,y=0 na função, para x\neq0 temos
f(x,0)=\frac{2x^{2}-0^{2}}{x^{2}-2\cdot 0^{2}}=\frac{2x^{2}}{x^{2}}.
Simplificando (dividindo numerador e denominador por x^{2}, válido para x\neq0):
f(x,0)=2.
Portanto, ao aproximar (x,0) de (0,0) (isto é, x\to0),
\lim_{x\to0} f(x,0)=2.

Passo 4

Segundo caminho: pegar a reta y=x. Substituindo \,y=x na função, para x\neq0 temos
f(x,x)=\frac{2x^{2}-x^{2}}{x^{2}-2x^{2}}=\frac{x^{2}}{-x^{2}}.
Simplificando (novamente dividindo por x^{2}):
f(x,x)=-1.
Logo, ao aproximar (x,x) de (0,0) (isto é, x\to0),
\lim_{x\to0} f(x,x)=-1.

Passo 5

Comparando os resultados obtidos:
  • Pela reta y=0 o limite é 2.
  • Pela reta y=x o limite é -1.
Como esses dois limites são diferentes, o valor de f(x,y) ao aproximar (0,0) depende do caminho escolhido. Pela definição de limite em várias variáveis, isso implica que o limite em (0,0) não existe.

Passo 6

Observação adicional (para fixar a ideia): se tomarmos a reta genérica y=mx com constante real m (e excluirmos casos em que o denominador fique identicamente zero), a substituição dá
f(x,mx)=\frac{2-m^{2}}{1-2m^{2}},
que depende de m. Portanto, diferentes valores de m produzem, em geral, diferentes limites, reforçando que não existe um único limite quando (x,y)\to(0,0). Note que para m^{2}=\tfrac{1}{2} o denominador é zero (a função fica indefinida sobre essa reta), o que mostra ainda comportamentos singulares em outras direções.

Resposta

O limite não existe.

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