Mostre que o limite não existe
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe.
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - Devemos verificar o comportamento de
quando se aproxima de por diferentes caminhos e concluir se existe um único valor limite ou não.
Passo 2
Conceito rápido (explicando devagar): para que o limite de uma função de duas variáveis exista em um ponto, o valor de
ao nos aproximarmos desse ponto deve tender ao mesmo número independente do caminho escolhido. Uma maneira prática e comum de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar pelo menos dois caminhos (por exemplo, duas retas que passam pela origem) ao longo dos quais os limites das restrições da função sejam diferentes. Se isso ocorrer, o limite em
não pode existir.
Passo 3
Primeiro caminho: pegar a reta
. Substituindo
na função, para
temos
Simplificando (dividindo numerador e denominador por
, válido para
):
Portanto, ao aproximar
de
(isto é,
),
Passo 4
Segundo caminho: pegar a reta
. Substituindo
na função, para
temos
Simplificando (novamente dividindo por
):
Logo, ao aproximar
de
(isto é,
),
Passo 5
Comparando os resultados obtidos:
- Pela reta
o limite é . - Pela reta
o limite é .
Como esses dois limites são diferentes, o valor de
ao aproximar
depende do caminho escolhido. Pela definição de limite em várias variáveis, isso implica que o limite em
não existe.
Passo 6
Observação adicional (para fixar a ideia): se tomarmos a reta genérica
com constante real
(e excluirmos casos em que o denominador fique identicamente zero), a substituição dá
que depende de
. Portanto, diferentes valores de
produzem, em geral, diferentes limites, reforçando que não existe um único limite quando
. Note que para
o denominador é zero (a função fica indefinida sobre essa reta), o que mostra ainda comportamentos singulares em outras direções.
Resposta
O limite não existe.