Ache a inclinação da reta tangente à curva da interseção da superfície
com o plano
, no ponto
(Sol.
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inclinação da reta tangente à curva que resulta da interseção da superfície $ z = \frac{1}{2} \sqrt{31 - 2x^{2} + y^{2}} $ com o plano $ y = 2 $ no ponto $ (3, 2, 5\sqrt{2}) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, especificamente sobre derivadas e retas tangentes. Basicamente, vamos derivar a função que representa a curva para encontrar sua inclinação no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da superfície com o plano $ y = 2 $. Como $ y $ é sempre 2 nesse plano, podemos substituir $ y $ por 2 na equação da superfície:
Simplificando:
Então, agora a nossa função $ z $ depende apenas de $ x $.
Passo 3
Para encontrar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada de $ z $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a taxa de variação de $ z $ em relação a $ x $, que é exatamente a inclinação que estamos procurando.
Vamos derivar $ z $:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada no ponto específico $ x = 3 $:
Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt{17} $:
Resposta
A inclinação da reta tangente à curva no ponto $ (3, 2, 5\sqrt{2}) $ é $ \boxed{\dfrac{-3 \sqrt{17}}{17}} $.