Prove que se f(x)=0 para x irracional e f(x)=1 para x racional, então lim x a f(x) não existe para nenhum a.

Passo 1

O enunciado define a função f que vale 1 nos racionais e 0 nos irracionais, e pede para mostrar que em nenhum ponto a∈ℝ existe limite de f quando x→a. O conteúdo principal é limite de função e densidade dos racionais e irracionais em ℝ, e vamos usar uma abordagem por epsilon–delta ou sequência para contradizer qualquer valor candidato L.

Passo 2

Sabemos que os racionais e irracionais formam conjuntos densos em ℝ, ou seja, em qualquer intervalo (a−δ,a+δ) existem tanto números racionais quanto irracionais. Logo, em qualquer vizinhança de a teremos pontos x com f(x)=1 e pontos y com f(y)=0.

Passo 3

Suponha, por contradição, que exista um L∈ℝ tal que lim_{x→a}f(x)=L. Então, tomando ε=1/2, pela definição de limite existe δ>0 tal que para todo x≠a com |x−a|<δ valha |f(x)−L|<1/2.
Agora, escolhemos um x racional com |x−a|<δ. Nesse caso f(x)=1, então |1−L|<1/2 implica L∈(1/2,3/2). Também escolhemos um y irracional com |y−a|<δ. Nesse caso f(y)=0, então |0−L|<1/2 implica L∈(−1/2,1/2). Mas não há número L que pertença simultaneamente a (1/2,3/2) e (−1/2,1/2), contradição.

Passo 4

Como qualquer suposição de existência de limite leva a contradição, concluímos que lim_{x→a}f(x) não existe para nenhum a∈ℝ.

Resposta

lim_{x→a}f(x) não existe para todo a∈ℝ.

Exercícios relacionados