Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
integral-3^3 integral0^raiz2-x^2 sen(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral iterada
integral-3^3integral0^raiz2-x^2sinl(x^2+y^2r),dy,dx
convertendo antes pra coordenadas polares. Isso é um caso de integral dupla em uma região plana (a semidisco de raio raiz2, pois o limite y=0 a y=raiz2-x^2 define x^2+y^2<=2, y>=0). Vamos usar também a substituição u=r^2 pra integrar sin(r^2)r.

Passo 2

Na coordenadas polares, descrevemos o ponto como x=rcostheta, y=rsintheta, e a área elementar vira dA=r,dr,dtheta. A região x^2+y^2<=2, y>=0 fica
0<= r<=raiz2, 0<=theta<=pi

Passo 3

A integral dupla passa a ser
integraltheta=0^piintegralr=0^raiz2sin(r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Para a integral em r, fazemos a substituição u=r^2, então du=2r,dr ou r,dr=du/2. Assim
integral0^raiz2sin(r^2),r,dr =12integralu=0^2sin(u),du =12l[-cos(u)r]0^2 =12l(1-cos2r)

Passo 5

Como esse resultado não depende de theta, integra-se só em theta:
integral0^pi12(1-cos2),dtheta =12(1-cos2)integral0^pidtheta =12(1-cos2)cdotpi =pi2(1-cos2)

Resposta

pi2l(1-cos2r).

Exercícios relacionados