Suponha que existe um de0 tal que f(x)=g(x) quando 0<|x-a|. Prove que lim x a f(x)= lim x a g(x). Em outras palavras, lim x a f(x) depende apenas dos valores de f(x) para x próximo a a; este fato é frequentemente expresso dizendo que os limites são uma “propriedade local”. (Será mais claro se usar de, ou alguma outra letra, em vez de de, na definição de limites.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se duas funções f e g coincidem em todo ponto suficientemente próximo de a (exceto possivelmente em a), então elas têm o mesmo limite em a. O conteúdo é definição de limite pelo critério ε–δ e vamos precisar usar a ideia de ajustar o δ da definição do limite.

Passo 2

Suponha que L = limxto a f(x). Pela definição de limite, para cada ε>0 existe um δ’ tal que vale:\n 0<|x-a|

Passo 3

Como f(x)=g(x) sempre que 0<|x-a|<δ (pela hipótese), podemos combinar os dois δ’s. Definimos\n deAssim, se 0<|x-a|<δ’’ então simultaneamente f(x)=g(x) e |f(x)-L|<ε, logo |g(x)-L|=|f(x)-L|<ε.

Passo 4

Portanto, para todo ε>0 encontramos δ’’>0 tal que 0<|x-a|<δ’’ implica |g(x)-L|<ε. Isso prova que limxto a g(x)=L. Assim concluímos que limxto a f(x)=limxto a g(x), mostrando a propriedade local dos limites.

Resposta

limxto a f(x)=limxto a g(x)

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