Suponha que existe um
tal que
quando
. Prove que
. Em outras palavras,
depende apenas dos valores de
para
próximo a
; este fato é frequentemente expresso dizendo que os limites são uma “propriedade local”. (Será mais claro se usar
, ou alguma outra letra, em vez de
, na definição de limites.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se duas funções f e g coincidem em todo ponto suficientemente próximo de a (exceto possivelmente em a), então elas têm o mesmo limite em a. O conteúdo é definição de limite pelo critério ε–δ e vamos precisar usar a ideia de ajustar o δ da definição do limite.
Passo 2
Suponha que L =
. Pela definição de limite, para cada ε>0 existe um δ’ tal que vale:\n
Passo 3
Como f(x)=g(x) sempre que 0<|x-a|<δ (pela hipótese), podemos combinar os dois δ’s. Definimos\n
Assim, se 0<|x-a|<δ’’ então simultaneamente f(x)=g(x) e |f(x)-L|<ε, logo |g(x)-L|=|f(x)-L|<ε.
Passo 4
Portanto, para todo ε>0 encontramos δ’’>0 tal que 0<|x-a|<δ’’ implica |g(x)-L|<ε. Isso prova que
. Assim concluímos que
, mostrando a propriedade local dos limites.