Ache a inclinação da reta tangente à curva de intersecção da superfície 36 x^2-9 y^2+4 z^2 +36=0 com o plano x=1, no ponto (1, raiz12,-3) R: 3 raiz32

Passo 1

O enunciado dá a superfície
36x^2-9y^2+4z^2+36=0
e o plano ,x=1. A interseção dessas duas superfícies é uma curva contida no plano x=1. Queremos a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto l(1,raiz12,-3r). Para isso, vamos obter uma relação entre y e z definindo a curva implicitamente e daí calcular tfracdzdy.

Passo 2

Substituindo x=1 na equação da superfície obtemos a curva no plano x=1:
36cdot1^2-9y^2+4z^2+36=0 Longrightarrow -9y^2+4z^2+72=0

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a y. Definindo
G(y,z) = -9y^2+4z^2+72,
temos G(y,z)=0. Logo,
ddyG(y,z) = partial Gpartial y + partial Gpartial z,dzdy =0 Longrightarrow -18y + 8zdzdy=0

Passo 4

Isolando tfracdzdy obtemos
8z,dzdy =18y Longrightarrow dzdy =18y8z =9y4z

Passo 5

No ponto l(y,zr)=l(raiz12,-3r) (e lembrando que raiz12=2raiz3), temos
dzdy gr|(2raiz3,,-3) = 9,(2raiz3)4,(-3) = 18raiz3-12 =-3raiz32
A inclinação da reta tangente, em valor absoluto (ângulo de inclinação), é
l|tfracdzdyr| =3raiz32

Resposta

A inclinação da reta tangente é 3raiz32.

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