Questão 10: Analise a continuidade das funções (contínua, contínua à direita, contínua à esquerda).
f(x)= x-1, & se x >= 2 x, & se x<2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x-1, & se x>=2, x, & se x<2
Queremos estudar a continuidade em todos os pontos de R, especialmente em x=2. Vamos usar que polinômios são contínuos e empregar definições de limite lateral e continuidade (total, à direita e à esquerda).

Passo 2

Para x<2 a função é f(x)=x, que é um polinômio e, portanto, contínua em todo ponto nessa região aberta. Para x>2 a função é f(x)=x-1, também polinômio e contínua em toda parte. Logo, não há pontos de descontinuidade exceto possivelmente em x=2.

Passo 3

Calculamos os limites laterais em x=2.
O limite pela esquerda é
limxto2^-f(x) =limxto2^-x =2
O limite pela direita é
limxto2^+f(x) =limxto2^+(x-1) =2-1=1

Passo 4

O valor da função em x=2 vem da regra x>=2, logo
f(2)=2-1=1
Comparando:
  • limxto2^-f(x)=2neq f(2)=1, então não há continuidade à esquerda em 2.
  • limxto2^+f(x)=1=f(2), então há continuidade à direita em 2.
  • Os limites laterais não coincidem, logo não há continuidade total em 2.

Resposta

A função é contínua em todo xneq2. Em x=2 ela é descontinua, mas possui continuidade à direita (e não à esquerda).

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