Ache, por integral dupla, o volume da parte do sólido limitada, pelas esfera
que está no primeiro octante. Faça um esboço do sólido.
Passo 1
O enunciado pede o volume da parte da esfera
contida no primeiro octante (x≥0, y≥0, z≥0). Para resolver isso usando integral dupla, vamos considerar que o volume sob a superfície z = √(16 − x² − y²) sobre a região D do plano xy é dado por
Em termos de esboço, é exatamente o “quilha” da esfera de raio 4 cortada pelos planos x=0, y=0 e z=0.
Passo 2
A região D é o quarto de disco de raio 4 no primeiro quadrante do plano xy, ou seja
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Passo 3
Para simplificar, passamos a coordenadas polares:
com Jacobiano r, e o disco quarto vira 0≤r≤4, 0≤θ≤π/2. A integral fica
Passo 4
Calculamos primeiro
Use a substituição u = 16−r² ⇒ du = −2r dr. Assim,
Passo 5
Agora voltamos a θ: