Ache, por integral dupla, o volume da parte do sólido limitada, pelas esfera x^2+ y^2+z^2=16 que está no primeiro octante. Faça um esboço do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume da parte da esfera
x^2 + y^2 + z^2 = 16
contida no primeiro octante (x≥0, y≥0, z≥0). Para resolver isso usando integral dupla, vamos considerar que o volume sob a superfície z = √(16 − x² − y²) sobre a região D do plano xy é dado por
V = integral duplaD raiz16 - x^2 - y^2,dA
Em termos de esboço, é exatamente o “quilha” da esfera de raio 4 cortada pelos planos x=0, y=0 e z=0.

Passo 2

A região D é o quarto de disco de raio 4 no primeiro quadrante do plano xy, ou seja
D = (x,y): x>=0,;y>=0,;x^2 + y^2 <= 16
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V = integral duplaD raiz16 - x^2 - y^2,dA

Passo 3

Para simplificar, passamos a coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta,
com Jacobiano r, e o disco quarto vira 0≤r≤4, 0≤θ≤π/2. A integral fica
V = integral0^pi/2 integral0^4 rraiz16 - r^2,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro
integral0^4 rraiz16 - r^2,dr
Use a substituição u = 16−r² ⇒ du = −2r dr. Assim,
integral0^4 rraiz16 - r^2,dr = -tfrac12 integralu=16^0 u^1/2,du = tfrac13 [16^3/2] = tfrac643

Passo 5

Agora voltamos a θ:
V = integral0^pi/2 643,dtheta = 643 cdot pi2 = 32pi3

Resposta

32pi3

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