Calcule as integrais iteradas abaixo.
integralpi2^pi integral0^y^2 sen(xy) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
integralpi2^pi integral0^y^2 sin(xy) , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que envolvem calcular uma integral dentro de outra. Para resolver, precisamos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é a integral de $ \sin\left(\frac{x}{y}\right) $ em relação a $ x $, mantendo $ y $ constante:
sin(xy)
Para integrar essa função, podemos fazer uma substituição simples. Vamos definir:
x
Diferenciando ambos os lados em relação a $ x $:
y

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites de integração de $ x $ para $ u $:
  • Quando $ x = 0 $, $ u = 0 $
  • Quando $ x = y^{2} $, $ u = \frac{y^{2}}{y} = y $
Substituindo tudo na integral:
x

Passo 4

Agora, vamos integrar $ \sin(u) $ em relação a $ u $:
sin(u)
Aplicando os limites de 0 a $ y $:
u
Simplificando:
integral sin(u) , du = -cos(u) + C

Passo 5

Agora que resolvemos a integral interna, precisamos integrar o resultado em relação a $ y $:
y
Vamos separar essa integral em duas partes:
integralpi2^pi y (1 - cos(y)) , dy

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
integral y , dy = y^22
Aplicando os limites:
y^22 |pi2^pi = pi^22 - (pi2)^22 = pi^22 - pi^28 = 3pi^28

Passo 7

Segunda integral:
integral y cos(y) , dy
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde:
  • $ u = y $ u = y $ du = dy $
  • $ dv = \cos(y) , dy $ Rightarrow $ v = \sin(y) $
Aplicando a fórmula de integração por partes:
du = dy
Aplicando os limites de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \pi $:
dv = cos(y) , dy
Calculando:
  • Em $ y = \pi $:
Rightarrow
  • Em $ y = \frac{\pi}{2} $:
v = sin(y)
Subtraindo:
uv - integral v , du = y sin(y) - integral sin(y) , dy = y sin(y) + cos(y) + C

Passo 8

Agora, juntando as duas partes:
3pi^28 - (-(1 + pi2)) = 3pi^28 + 1 + pi2

Resposta

A integral iterada vale:
3pi^28 + pi2 + 1

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