Calcule as integrais iteradas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que envolvem calcular uma integral dentro de outra. Para resolver, precisamos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é a integral de $ \sin\left(\frac{x}{y}\right) $ em relação a $ x $, mantendo $ y $ constante:
Para integrar essa função, podemos fazer uma substituição simples. Vamos definir:
Diferenciando ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos mudar os limites de integração de $ x $ para $ u $:
- Quando $ x = 0 $, $ u = 0 $
- Quando $ x = y^{2} $, $ u = \frac{y^{2}}{y} = y $
Substituindo tudo na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar $ \sin(u) $ em relação a $ u $:
Aplicando os limites de 0 a $ y $:
Simplificando:
Passo 5
Agora que resolvemos a integral interna, precisamos integrar o resultado em relação a $ y $:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Aplicando os limites:
Passo 7
Segunda integral:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde:
- $ u = y $
$ du = dy $u = y - $ dv = \cos(y) , dy $
$ v = \sin(y) $Rightarrow
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Aplicando os limites de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \pi $:
Calculando:
- Em $ y = \pi $:
- Em $ y = \frac{\pi}{2} $:
Subtraindo:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes:
Resposta
A integral iterada vale: