Calcule as integrais iteradas abaixo.
integral1^4 integralx^2^x raizyx d y d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede: calcular a integral iterada integral1^4 integralx^2^x raizyx , dy , dx. Isso envolve trabalhar com integrais duplas, onde vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Para resolver, precisamos usar técnicas de integração básicas e entender como manipular expressões com raízes e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é integralx^2^x raizyx , dy. Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
raizyx = (yx)^12 = x^-12 y^12
Então, a integral fica:
integralx^2^x x^-12 y^12 , dy = x^-12 integralx^2^x y^12 , dy
Agora, vamos integrar y^12 em relação a y:
integral y^12 , dy = 23 y^32
Aplicando os limites de integração:
x^-12 [ 23 y^32 ]x^2^x = x^-12 ( 23 x^32 - 23 (x^2)^32 )
Simplificando (x^2)^32 = x^3:
x^-12 ( 23 x^32 - 23 x^3 ) = 23 x^1 - 23 x^52

Passo 3

Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a x de 1 a 4:
integral1^4 ( 23 x - 23 x^52 ) dx = 23 integral1^4 x , dx - 23 integral1^4 x^52 , dx
Integrando cada termo separadamente:
23 integral x , dx = 23 cdot 12 x^2 = 13 x^2
-23 integral x^52 , dx = -23 cdot 27 x^72 = -421 x^72
Agora, aplicamos os limites de 1 a 4:
[ 13 x^2 - 421 x^72 ]1^4
Calculando para x = 4:
13 (16) - 421 (4)^72 = 163 - 421 cdot 128 = 163 - 51221
E para x = 1:
13 (1) - 421 (1)^72 = 13 - 421
Agora, subtraímos os valores:
( 163 - 51221 ) - ( 13 - 421 ) = ( 11221 - 51221 ) - ( 721 - 421 ) = -40021 - 321 = -40321

Resposta

A integral iterada vale -40321.

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