Calcule as integrais iteradas abaixo.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão pede: calcular a integral iterada
. Isso envolve trabalhar com integrais duplas, onde vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para resolver, precisamos usar técnicas de integração básicas e entender como manipular expressões com raízes e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é
. Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando
:
Passo 3
Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a
de 1 a 4:
Integrando cada termo separadamente:
Agora, aplicamos os limites de 1 a 4:
Calculando para
:
E para
:
Agora, subtraímos os valores:
Resposta
A integral iterada vale
.