Ache o volume do sólido limitado pelos planos
. Faça um esboço do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado por vários planos: $ x = y + 2z + 1 $, $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $ e $ 3y + z - 3 = 0 $. Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites desse sólido. Os planos $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $ são os planos coordenados, ou seja, os eixos $ yz $, $ xz $ e $ xy $. O plano $ 3y + z - 3 = 0 $ pode ser reescrito como $ z = 3 - 3y $, e o plano $ x = y + 2z + 1 $ define uma relação entre $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Vamos encontrar as interseções desses planos para determinar os limites de integração. A interseção de $ 3y + z = 3 $ com $ z = 0 $ dá $ y = 1 $. Com $ y = 0 $, dá $ z = 3 $. Então, $ y $ varia de 0 a 1 e, para cada $ y $, $ z $ varia de 0 a $ 3 - 3y $.
Passo 4
Para cada ponto $ (y, z) $, o valor de $ x $ varia de 0 até $ y + 2z + 1 $. Portanto, podemos montar o integral triplo para calcular o volume:
Passo 5
Vamos resolver o integral interno em $ x $:
Passo 6
Agora, substituímos isso no integral duplo:
Passo 7
Integrando em relação a $ z $:
Passo 8
Agora, integramos em relação a $ y $:
Resposta
O volume do sólido é $ 5 $ unidades cúbicas.