Ache o volume do sólido limitado pelos planos x=y+2 z+1, x=0, y=0, z=0 e 3 y+z-3=0. Faça um esboço do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado por vários planos: $ x = y + 2z + 1 $, $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $ e $ 3y + z - 3 = 0 $. Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites desse sólido. Os planos $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $ são os planos coordenados, ou seja, os eixos $ yz $, $ xz $ e $ xy $. O plano $ 3y + z - 3 = 0 $ pode ser reescrito como $ z = 3 - 3y $, e o plano $ x = y + 2z + 1 $ define uma relação entre $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 3

Vamos encontrar as interseções desses planos para determinar os limites de integração. A interseção de $ 3y + z = 3 $ com $ z = 0 $ dá $ y = 1 $. Com $ y = 0 $, dá $ z = 3 $. Então, $ y $ varia de 0 a 1 e, para cada $ y $, $ z $ varia de 0 a $ 3 - 3y $.

Passo 4

Para cada ponto $ (y, z) $, o valor de $ x $ varia de 0 até $ y + 2z + 1 $. Portanto, podemos montar o integral triplo para calcular o volume:
(y, z)

Passo 5

Vamos resolver o integral interno em $ x $:
x

Passo 6

Agora, substituímos isso no integral duplo:
V = integral0^1 integral0^3-3y (y + 2z + 1) , dz , dy

Passo 7

Integrando em relação a $ z $:
z
integral0^3-3y (y + 2z + 1) , dz = y(3-3y) + z^2 |0^3-3y + (3-3y)
= 3y - 3y^2 + (3-3y)^2 + 3 - 3y
= 3y - 3y^2 + 9 - 18y + 9y^2 + 3 - 3y

Passo 8

Agora, integramos em relação a $ y $:
y
V = integral0^1 (12 - 18y + 6y^2) , dy
= 12y - 9y^2 + 2y^3 |0^1
= 12(1) - 9(1)^2 + 2(1)^3 - 0

Resposta

O volume do sólido é $ 5 $ unidades cúbicas.

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