Ache
, se
é uma normal unitária superior de
.
(a)
;
é a parte no primeiro octante da esfera
(b)
é a parte do cone
interior ao cilindro
©
é a parte do plano
interceptada pelos planos
,
e
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Resumindo a questão, temos três fluxos de campos vetoriais
através de superfícies
diferentes, sempre com a normal unitária apontando para cima (com componente
). O conteúdo é integral de superfície (fluxo), e vamos precisar parametrizar cada superfície ou usar a forma de gráfico
para obter
e calcular
.
Passo 2
Para o item (a), a superfície é a parte da esfera
no primeiro octante. Como a normal deve ter
, usamos coordenadas esféricas:
com
e
. O vetor normal unitário é
e
Assim
e o integrando fica
Como
, o fluxo é
.
Passo 3
Para o item (b),
e
é o cone
para
. Parametrizamos em coordenadas polares:
com
,
. Os vetores tangentes são
e
Logo
e
Integrando em
de 0 a
zera os dois primeiros termos e resta
Passo 4
Para o item ©,
e
é o plano
sobre o retângulo
. Tratamos como gráfico
. Os vetores são
e
apontando para cima. Então
constante, e
Resposta
(a) 0; (b) 3\pi; © 24