Ache integral duplaS F cdot n d S, se n é uma normal unitária superior de S.
(a) F=x i-y j; S é a parte no primeiro octante da esfera x^2+y^2+z^2=a^2
(b) F=(2,5,3) ; S é a parte do cone z=(x^2+y^2)^1 / 2 interior ao cilindro x^2+y^2=1
© F=(x, y, z) ; S é a parte do plano 3 x+2 y+z=12 interceptada pelos planos x=0, y=0, x=1 e y=2.

Passo 1

Resumindo a questão, temos três fluxos de campos vetoriais vec F através de superfícies S diferentes, sempre com a normal unitária apontando para cima (com componente z>0). O conteúdo é integral de superfície (fluxo), e vamos precisar parametrizar cada superfície ou usar a forma de gráfico z=g(x,y) para obter dvec S e calcular integral duplaSvec Fcdotvec n,dS.

Passo 2

Para o item (a), a superfície é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 no primeiro octante. Como a normal deve ter z>0, usamos coordenadas esféricas:
x=asinphicostheta, y=asinphisintheta, z=acosphi,
com phiin[0,pi/2] e thetain[0,pi/2]. O vetor normal unitário é hat n=(x,y,z)/a e
dS=a^2sinphi,dphi,dtheta
Assim
vec Fcdothat n=x^2-y^2a,
e o integrando fica
x^2-y^2a,a^2sinphi=a^3sin^3phicos2theta
Como integral0^pi/2cos2theta,dtheta=0, o fluxo é 0.

Passo 3

Para o item (b), vec F=(2,5,3) e S é o cone z=raizx^2+y^2 para x^2+y^2<=1. Parametrizamos em coordenadas polares:
x=rcostheta,;y=rsintheta,;z=r,
com rin[0,1], thetain[0,2pi]. Os vetores tangentes são
vec rr=(costheta,sintheta,1),vec rtheta=(-rsintheta,rcostheta,0),
e
vec rrtimesvec rtheta=(-rcostheta,-rsintheta,r)
Logo
dvec S=vec rrtimesvec rtheta,dr,dtheta
e
vec Fcdot dvec S=-2rcostheta-5rsintheta+3r
Integrando em theta de 0 a 2pi zera os dois primeiros termos e resta integral0^1integral0^2pi3r,dtheta,dr=3pi

Passo 4

Para o item ©, vec F=(x,y,z) e S é o plano z=12-3x-2y sobre o retângulo 0<= x<=1,;0<= y<=2. Tratamos como gráfico z=g(x,y). Os vetores são
vec rx=(1,0,-3),vec ry=(0,1,-2)
e
dvec S=vec rxtimesvec ry,dA=(3,2,1),dA
apontando para cima. Então
vec Fcdot dvec S=3x+2y+z=3x+2y+12-3x-2y=12
constante, e
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS=integral dupla[0,1]times[0,2]12,dA=12times2=24

Resposta

(a) 0; (b) 3\pi; © 24

Exercícios relacionados