Suponha que z=f(x, y), onde x=g(s, t), y=h(s, t), g(1,2)=3, gs(1,2)=-1, gt(1,2)=4, h(1,2)=6, hs(1,2)=-5, ht(1,2)=10, fx(3,6)=7 e fy(3,6)=8. Determine partial z / partial s e partial z / partial t quando s=1 e t=2.

Passo 1

Vamos resumir: temos uma função composta z = f(x,y), onde x e y dependem de (s,t) pelas funções x = g(s,t) e y = h(s,t). O objetivo é calcular as derivadas parciais ∂z/∂s e ∂z/∂t usando a regra da cadeia.

Passo 2

A teoria que usamos é a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Ela diz que
fx
fy
Aqui, e são derivadas parciais de f em relação a x e y, e as outras são derivadas de g e h.

Passo 3

Agora substituímos os valores fornecidos no ponto (s,t)=(1,2). Temos fx(3,6)=7, fy(3,6)=8, gs(1,2)=-1, gt(1,2)=4, hs(1,2)=-5 e ht(1,2)=10. Logo:

Passo 4

Basta calcular os produtos e somas:

Resposta

partial zpartial s = -47, partial zpartial t = 108.

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