Determine o trabalho realizado pelo campo de força
sobre uma partícula que dá uma volta no círculo
no sentido anti-horário. ( 2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado pelo campo de força
sobre uma partícula que percorre o círculo
no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e trabalho realizado por campos de força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Onde
é o caminho percorrido pela partícula.
Passo 3
Nosso campo de força é
. E o caminho
é o círculo
, que tem raio 3.
Passo 4
Vamos parametrizar o círculo usando um ângulo
. Definimos:
Onde
varia de
a
para percorrer o círculo uma vez no sentido anti-horário.
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é o vetor deslocamento diferencial ao longo do caminho:
Passo 6
Substituímos
e
na expressão do campo de força:
Passo 7
Calculamos o produto escalar
:
Passo 8
Simplificamos a expressão e resolvemos a integral:
Passo 9
Calculamos cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.