Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y)=x^2 y i+y^3 j sobre uma partícula que dá uma volta no círculo x^2+y^2=9 no sentido anti-horário. ( 2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y)=x^2 y i + y^3 j sobre uma partícula que percorre o círculo x^2+y^2=9 no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e trabalho realizado por campos de força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
W = ointC F cdot dr
Onde C é o caminho percorrido pela partícula.

Passo 3

Nosso campo de força é F(x, y) = x^2 y i + y^3 j. E o caminho C é o círculo x^2+y^2=9, que tem raio 3.

Passo 4

Vamos parametrizar o círculo usando um ângulo theta. Definimos:
x = 3 cos theta y = 3 sin theta
Onde theta varia de 0 a 2pi para percorrer o círculo uma vez no sentido anti-horário.

Passo 5

Agora, vamos calcular dr, que é o vetor deslocamento diferencial ao longo do caminho:
dr = dxdtheta dtheta , i + dydtheta dtheta , j dx = -3 sin theta , dtheta dy = 3 cos theta , dtheta Rightarrow dr = (-3 sin theta i + 3 cos theta j) dtheta

Passo 6

Substituímos x e y na expressão do campo de força:
F(x, y) = ( (3 cos theta)^2 cdot 3 sin theta )i + (3 sin theta)^3 j = (9 cos^2 theta cdot 3 sin theta )i + 27 sin^3 theta j = 27 cos^2 theta sin theta i + 27 sin^3 theta j

Passo 7

Calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (27 cos^2 theta sin theta)(-3 sin theta) + (27 sin^3 theta)(3 cos theta) = -81 cos^2 theta sin^2 theta + 81 sin^3 theta cos theta

Passo 8

Simplificamos a expressão e resolvemos a integral:
W = integral0^2pi ( -81 cos^2 theta sin^2 theta + 81 sin^3 theta cos theta ) dtheta = -81 integral0^2pi cos^2 theta sin^2 theta , dtheta + 81 integral0^2pi sin^3 theta cos theta , dtheta

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^2pi cos^2 theta sin^2 theta , dtheta = 14 integral0^2pi (1 - cos 4theta) , dtheta = 14 cdot 2pi = pi2
Segunda integral:
integral0^2pi sin^3 theta cos theta , dtheta Fazendo a substituição u = sin theta Rightarrow du = cos theta dtheta = integral u^3 , du de 0 a 0 (pois theta=0 e theta=2pi dão u=0) = 0 çãã

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é W = -81 cdot pi2 + 0 = -81pi2 unidades de trabalho.

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