Determine se o campo vetorial é conservativo ou năo. Se for conservativo, determine uma função
tal que
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(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se cada um desses campos vetoriais é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar uma função $ f $ tal que $ \vec{F} = \nabla f $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial $ \vec{F} = (P, Q, R) $ é conservativo se existe uma função $ f $ tal que:
Isso significa que:
Além disso, para que $ \vec{F} $ seja conservativo, as componentes devem satisfazer as condições de integrabilidade, que envolvem igualdades entre as derivadas cruzadas.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a):
Primeiro, identificamos $ P = y^{2} z^{3} $, $ Q = 2 x y z^{3} $, e $ R = 3 x y^{2} z^{2} $.
Passo 4
Agora, vamos verificar se as condições de conservatividade são atendidas. Precisamos checar se:
Calculando:
Como todas as igualdades são verdadeiras, o campo é conservativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função $ f $. Integramos $ P $ em relação a $ x $:
Derivando $ f $ em relação a $ y $ e igualando a $ Q $:
Isso implica que $ \frac{\partial g}{\partial y} = 0 $, então $ g $ depende apenas de $ z $.
Passo 6
Agora, derivamos $ f $ em relação a $ z $ e igualamos a $ R $:
Assim, $ \frac{dg}{dz} = 0 $, então $ g $ é uma constante. Podemos considerar $ g = 0 $.
Resposta
Sim, o campo vetorial é conservativo. A função $ f $ é: