Determine se o campo vetorial é conservativo ou năo. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
(a) F(x, y, z)=(y^2 z^3, 2 x y z^3, 3 x y^2 z^2)
(b) F(x, y, z)=(2 x y, x^2+2 y z, y^2)
© F(x, y, z)=(y e^-z, e^-infty, 2 z)
(d) F(x, y, z)=(y cos (x y), x cos (x y),-sen z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se cada um desses campos vetoriais é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar uma função $ f $ tal que $ \vec{F} = \nabla f $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial $ \vec{F} = (P, Q, R) $ é conservativo se existe uma função $ f $ tal que:
F = (P, Q, R)
Isso significa que:
f
Além disso, para que $ \vec{F} $ seja conservativo, as componentes devem satisfazer as condições de integrabilidade, que envolvem igualdades entre as derivadas cruzadas.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a):
F(x, y, z) = (y^2 z^3, 2 x y z^3, 3 x y^2 z^2)
Primeiro, identificamos $ P = y^{2} z^{3} $, $ Q = 2 x y z^{3} $, e $ R = 3 x y^{2} z^{2} $.

Passo 4

Agora, vamos verificar se as condições de conservatividade são atendidas. Precisamos checar se:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
partial Ppartial z = partial Rpartial x
partial Qpartial z = partial Rpartial y
Calculando:
partial Ppartial y = 2 y z^3, partial Qpartial x = 2 y z^3 (Iguais)
partial Ppartial z = 3 y^2 z^2, partial Rpartial x = 3 y^2 z^2 (Iguais)
partial Qpartial z = 6 x y z^2, partial Rpartial y = 6 x y z^2 (Iguais)
Como todas as igualdades são verdadeiras, o campo é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função $ f $. Integramos $ P $ em relação a $ x $:
f
Derivando $ f $ em relação a $ y $ e igualando a $ Q $:
P
Isso implica que $ \frac{\partial g}{\partial y} = 0 $, então $ g $ depende apenas de $ z $.

Passo 6

Agora, derivamos $ f $ em relação a $ z $ e igualamos a $ R $:
f
Assim, $ \frac{dg}{dz} = 0 $, então $ g $ é uma constante. Podemos considerar $ g = 0 $.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo. A função $ f $ é:
f

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