Ache a integral tripla da função f sobre a região R.
f(x, y, z)=sen x cos (y+z) e R é o cubo [0, pi] times[0, pi] times[0, pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaR sin x cos(y+z) ,dV, onde R é o cubo [0,pi]times[0,pi]times[0,pi]. O conteúdo envolve integrais triplas e uso do Teorema de Fubini para escrever como integrais iteradas.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral triplaR sin x cos(y+z) ,dV = integral0^pi sin x ,dx ;times; integral0^pi integral0^pi cos(y+z) ,dy,dz
Isso funciona porque sin x depende só de x e cos(y+z) depende só de (y,z), permitindo a separação.

Passo 3

Calculamos primeiro
integral0^pi sin x ,dx = [-cos x]0^pi = (-cospi)-(-cos0) = -(-1)-(-1) = 2

Passo 4

Em seguida, a integral dupla
integral0^pi integral0^pi cos(y+z) ,dy,dz
fazemos a integração interna em y:
integral0^pi cos(y+z) ,dy = [sin(y+z)]0^pi = sin(pi+z)-sin z = -sin z - sin z = -2sin z

Passo 5

Agora a integral em z:
integral0^pi -2sin z ,dz = -2[-cos z]0^pi = -2[(-cospi)-(-cos0)] = -2[(-(-1)) - (-1)] = -4

Passo 6

Multiplicando os resultados das integrais separadas, obtemos
2 times (-4) = -8

Resposta

-8

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