circ Avalie a integral.
w) integral cos x ln (sen x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos x,ln(senx),dx. O conteúdo principal aqui é usar substituição para aproveitar que a derivada de senx é cos x, e depois, na integral resultante, aplicar integração por partes para integralln t,dt.

Passo 2

Observamos que d(senx)=cos x,dx. Fazendo a troca de variável
t&=senx, dt&=cos x,dx,
a integral original se transforma em
integralln t,dt

Passo 3

Para calcular integralln t,dt usamos integração por partes. Escolhemos
u&=ln t, & dv&=dt, du&=1t,dt, & v&=t Aplicando a fórmula integral u,dv=u v-integral v,du, temos
integralln t,dt= tln t-integral tcdot1t,dt= tln t-integral 1,dt= tln t-t+C

Passo 4

Finalmente, voltamos à variável x usando t=senx. A antiderivada fica
senxln(senx)-senx+C,
que também pode ser escrita como senxl(ln(senx)-1r)+C.

Resposta

senxln(senx)-senx+C

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