Usando as coordenadas esféricas, Calcule a integral tripla sobre a região
.
e
é região
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral tripla de uma função em coordenadas esféricas sobre a região definida por 0≤θ≤2π, 0≤φ≤π/4 e 1≤ρ≤2. O conteúdo é transformação de integrais múltiplas para coordenadas esféricas, usando que dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ.
Passo 2
Escrevemos a integral em esféricas, incluindo o Jacobiano ρ² sinφ. Como f(ρ,θ,φ)=sinφ, o integrando fica ρ² sinφ·sinφ=ρ² sin²φ. Assim temos
Passo 3
Calculamos primeiro a integral em ρ:
Passo 4
Agora a integral em φ de sin²φ. Usamos a identidade sin²φ=(1−cos2φ)/2. Então
Passo 5
A integral em θ é direta, pois não há dependência em θ no integrando restante:
Passo 6
Multiplicamos os resultados das três integrais: