Usando as coordenadas esféricas, Calcule a integral tripla sobre a região R.
f(rho, theta, phi)=sen phi e R é região 0 <= theta <= 2 pi, 0 <= phi <= pi / 4,1 <= rho <= 2.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla de uma função em coordenadas esféricas sobre a região definida por 0≤θ≤2π, 0≤φ≤π/4 e 1≤ρ≤2. O conteúdo é transformação de integrais múltiplas para coordenadas esféricas, usando que dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ.

Passo 2

Escrevemos a integral em esféricas, incluindo o Jacobiano ρ² sinφ. Como f(ρ,θ,φ)=sinφ, o integrando fica ρ² sinφ·sinφ=ρ² sin²φ. Assim temos
I=integral0^2piintegral0^pi/4integral1^2ρ^2,sin^2φ;dρ,dφ,dθ

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em ρ:
integral1^2ρ^2,dρ=[ρ^33]1^2=83-13=73

Passo 4

Agora a integral em φ de sin²φ. Usamos a identidade sin²φ=(1−cos2φ)/2. Então
integral0^pi/4sin^2φ,dφ=integral0^pi/41-cos2φ2,dφ=12l[φ-sin2φ2r]0^pi/4= 12l(pi4-12r)=pi8-14

Passo 5

A integral em θ é direta, pois não há dependência em θ no integrando restante:
integral0^2pidθ=2pi

Passo 6

Multiplicamos os resultados das três integrais:
I=73timesl(pi8-14r)times2pi =14pi3l(pi-28r) =7pi(pi-2)12

Resposta

7pi(pi-2)12

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