Usando as coordenadas esféricas, Calcule a integral tripla sobre a região R.
f(x, y, z)=1 /(x^2+y^2+z^2)^1 / 2 e R é a metade inferior da esfera do raio 5 centrada na origem.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral tripla de f(x,y,z)=1/raizx^2+y^2+z^2 sobre a metade inferior ( z<= 0) da esfera de raio 5 centrada na origem, usando coordenadas esféricas.
Em coordenadas esféricas, usamos as transformações x=rsinvarphicostheta, y=rsinvarphisintheta e z=rcosvarphi. O elemento de volume é dV=r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta, e o integrando f vira 1/r.

Passo 2

Como é a metade inferior da esfera, o raio varia de 0 a 5, o ângulo azimutal theta varia de 0 a 2pi e o polar varphi de pi/2 a pi.
Montamos a integral tripla substituindo o integrando e o jacobiano:
integral0^2piintegralpi/2^piintegral0^5 1r cdot r^2sinvarphi ,dr,dvarphi,dtheta = integral0^2piintegralpi/2^piintegral0^5 rsinvarphi ,dr,dvarphi,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em r:
integral0^5 r,dr = l[r^22r]0^5 = 252

Passo 4

Em seguida, integramos em varphi:
integralpi/2^pisinvarphi,dvarphi = [-cosvarphi]pi/2^pi = 1

Passo 5

A integral em theta é
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando todos os resultados, obtemos 252 times 1 times 2pi = 25pi.

Resposta

25pi

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