Usando as coordenadas esféricas, Calcule a integral tripla sobre a região
.
e
é a metade inferior da esfera do raio 5 centrada na origem.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral tripla de
sobre a metade inferior (
) da esfera de raio 5 centrada na origem, usando coordenadas esféricas.
Em coordenadas esféricas, usamos as transformações ,
e
. O elemento de volume é
, e o integrando
vira
.
Em coordenadas esféricas, usamos as transformações
Passo 2
Como é a metade inferior da esfera, o raio varia de
a
, o ângulo azimutal
varia de
a
e o polar
de
a
.
Montamos a integral tripla substituindo o integrando e o jacobiano:
Montamos a integral tripla substituindo o integrando e o jacobiano:
Passo 3
Primeiro integramos em
:
Passo 4
Em seguida, integramos em
:
Passo 5
A integral em
é
Multiplicando todos os resultados, obtemos