Ache o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty(-1)^n-1 1raizn x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
$$
\sum_{n=1}^{
abla}(-1){n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}xn
$$
Este é um exercício de séries de potências. Para resolver, vamos precisar do teste da raiz de Cauchy (ou de d’Alembert) para achar o raio de convergência e depois testar os extremos sumn=1^ abla(-1)^n-11raiznx^n .

Passo 2

Aplicando o teste da raiz de Cauchy: para a série sum anx^n temos o raio de convergência R dado por
$$
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}.
$$
Aqui R=1limsupntoinfty|an|^1/n , então
$$
|a_n|{1/n}=\Bigl(\frac1{\sqrt{n}}\Bigr){1/n}=n^{-1/(2n)}\to1
$$
quando an=(-1)^n-1/raizn. Logo
$$
R=1.
$$

Passo 3

Para |x|<1, a série converge absolutamente; para |x|>1, diverge. Agora faltam os extremos.

Passo 4

Teste em x=1:
$$
\sum_{n=1}\infty(-1){n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}= rac1{1{1/2}}-\frac1{2{1/2}}+\frac1{3^{1/2}}-\cdots
$$
É uma série alternada cujo termo geral sumn=1^infty(-1)^n-11raizn= rac11^1/2-12^1/2+13^1/2-cdots é monótono decrescente e tende a zero. Portanto, por critério de Leibniz, converge (condicionalmente).

Passo 5

Teste em x=-1:
$$
\sum_{n=1}\infty(-1){n-1}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}=
\sum_{n=1}\infty(-1){2n-1}\frac1{\sqrt{n}}=-\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n}}.
$$
Isso é (menos) uma série p com sumn=1^infty(-1)^n-1(-1)^nraizn= sumn=1^infty(-1)^2n-11raizn=-sumn=1^infty1raizn , que diverge. Portanto, em p=1/2 a série diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1].

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