Ache o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
$$
\sum_{n=1}^{
abla}(-1){n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}xn
abla}(-1){n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}xn
$$
Este é um exercício de séries de potências. Para resolver, vamos precisar do teste da raiz de Cauchy (ou de d’Alembert) para achar o raio de convergência e depois testar os extremos
.
Passo 2
Aplicando o teste da raiz de Cauchy: para a série
temos o raio de convergência
dado por
$$
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}.
$$
Aqui
, então
$$
|a_n|{1/n}=\Bigl(\frac1{\sqrt{n}}\Bigr){1/n}=n^{-1/(2n)}\to1
$$
quando
. Logo
$$
R=1.
$$
Passo 3
Para
, a série converge absolutamente; para
, diverge. Agora faltam os extremos.
Passo 4
Teste em
:
$$
\sum_{n=1}\infty(-1){n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}=rac1{1{1/2}}-\frac1{2{1/2}}+\frac1{3^{1/2}}-\cdots
$$
É uma série alternada cujo termo geral
é monótono decrescente e tende a zero. Portanto, por critério de Leibniz, converge (condicionalmente).
Passo 5
Teste em
:
$$
\sum_{n=1}\infty(-1){n-1}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}=
\sum_{n=1}\infty(-1){2n-1}\frac1{\sqrt{n}}=-\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n}}.
\sum_{n=1}\infty(-1){2n-1}\frac1{\sqrt{n}}=-\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n}}.
$$
Isso é (menos) uma série p com
, que diverge. Portanto, em
a série diverge.
Resposta
O intervalo de convergência é
.