Determine se a série verifica as condições do teste para séries alternadas e se a série converge ou diverge.
Passo 1
Temos a série alternada
. O conteúdo envolve o teste de Leibniz para séries alternadas, que exige termos positivos
, decrescentes e com
. Definimos
.
Passo 2
Calculamos o limite de
. Observamos que
Uma forma de ver isso é usar que a exponencial cresce muito mais rápido que o polinômio, ou aplicar a regra de L’Hôpital ao limite contínuo de
.
Passo 3
Verificamos a monotonicidade de
comparando
e
. Temos
Como
para todo
, conclui-se que
e, portanto,
é decrescente.
Passo 4
Como
é decrescente para
e tende a zero, pelo teste de Leibniz a série alternada converge.
Resposta
A série satisfaz as condições do teste de séries alternadas de Leibniz e, portanto, converge.