Determine se a série verifica as condições do teste para séries alternadas e se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n 5^-n

Passo 1

Temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-1n5^-n. O conteúdo envolve o teste de Leibniz para séries alternadas, que exige termos positivos an, decrescentes e com limntoinftyan=0. Definimos an = n5^-n.

Passo 2

Calculamos o limite de an. Observamos que
limntoinftyan = limntoinftyn5^n = 0
Uma forma de ver isso é usar que a exponencial cresce muito mais rápido que o polinômio, ou aplicar a regra de L’Hôpital ao limite contínuo de x/5^x.

Passo 3

Verificamos a monotonicidade de an comparando an+1 e an. Temos
an+1an = n+15^n+1 cdot 5^nn = n+15n
Como n+15n < 1 para todo n>=1, conclui-se que an+1 e, portanto, an é decrescente.

Passo 4

Como an é decrescente para n>=1 e tende a zero, pelo teste de Leibniz a série alternada converge.

Resposta

A série satisfaz as condições do teste de séries alternadas de Leibniz e, portanto, converge.

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