Use um polinômio de Taylor para aproximar cos 61 e estime a precisão da aproximação.

Passo 1

A ideia é aproximar cos x usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de um ponto a próximo a x. Aqui nosso conteúdo é série de Taylor e estimativa de termo de resto. Vamos precisar converter graus em radianos, escolher um ponto de expansão conveniente (onde conhecemos cos(a) e sin(a) exatamente) e usar a fórmula do resto de Taylor.

Passo 2

Como a gente quer cos(61^circ), primeiro convertemos para radianos:
x = 61^circ = 61pi180approx1,06465 rad
Um bom ponto de expansão é a=60^circ=pi/3, pois conhecemos cos(pi/3)=tfrac12 e sin(pi/3)=tfracraiz32. Definimos
h = x - a = 61pi180-pi3 = pi180approx0,0174533\

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 2 para cos x em torno de a é
cos x approx cos a - sin a,h - cos a2h^2

Passo 4

Substituindo cos a=1/2, sin a=raiz3/2 e h=pi/180, temos
cos(61^circ)approx 12 - raiz32cdotpi180 - 1/22l(pi180r)^2approx0,484813

Passo 5

Para estimar a precisão, olhamos o termo de resto de ordem 3:
R3 = -sin(xi)6h^3para algum xiin[a,x],
e como |sin(xi)|<=1,
[|R_3|\le \frac{|h|^3}{6} = \frac{1}{6}\Bigl(\frac{\pi}{180}\Bigr)3\approx8{,}9\times10{-7}.
]

Resposta

cos61^circapprox0,484813, com erro estimado menor que 9times10^-7.

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