Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1raiz[3]ln n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty 1raiz[3]ln n converge ou diverge. O conteúdo envolvido é teste de comparação de séries e vamos precisar usar a comparação com uma p-série (série do tipo sum 1/n^p).

Passo 2

Primeiro, note que para n=1 o termo ln 1=0 não faz sentido, então começamos a série a partir de n=2. O termo geral é an=1/(ln n)^1/3, que é positivo para n>=2.
Observamos que para todo n>=2 vale ln n<= n. Como a função xmapsto x^1/3 é crescente em [0,infty), temos
(ln n)^1/3<= n^1/3,
o que implica
1(ln n)^1/3>= 1n^1/3

Passo 3

Sabendo que a p-série sumn=2^infty 1n^p diverge quando p<=1, aqui temos p=1/3<1, logo sum 1/n^1/3 diverge.
Como an>= 1/n^1/3 para n>=2 e a série comparada diverge, concluímos pelo teste de comparação que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados