Ache o intervalo de convergência das séries de potências ;
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências . O assunto é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e em seguida checar os extremos.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, observe o coeficiente geral . Calculamos
Pela convergência do teste da razão, precisamos de L<1, ou seja
|x-5|5<1 Longrightarrow |x-5|<5
Passo 3
Isso mostra que o raio de convergência é R=5 e o intervalo central é (5-5,5+5)=(0,10). Agora vamos testar os extremos x=0 e x=10.
Passo 4
Para x=10, temos x-5=5 e o termo geral vira
1n,5^n,5^n = 1n,
o que é a série harmônica, que diverge. Portanto x=10 não está no intervalo.
Passo 5
Para x=0, temos x-5=-5 e o termo geral é
1n,5^n(-5)^n = (-1)^nn
Essa é a série alternada sum (-1)^n/n, que converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.
Passo 6
Com isso, o intervalo de convergência da série é [0,10).