Ache o intervalo de convergência das séries de potências
sumn=1^infty 1n cdot 5^n(x-5)^n;

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty 1n,5^n(x-5)^n. O assunto é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e em seguida checar os extremos.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, observe o coeficiente geral an=1n,5^n. Calculamos
L=limntoinfty|an+1(x-5)^n+1an(x-5)^n| = |x-5|limntoinfty1/( (n+1)5^n+1 )1/(n5^n) = |x-5|limntoinftynn+1cdot15 = |x-5|5
Pela convergência do teste da razão, precisamos de L<1, ou seja
|x-5|5<1 Longrightarrow |x-5|<5

Passo 3

Isso mostra que o raio de convergência é R=5 e o intervalo central é (5-5,5+5)=(0,10). Agora vamos testar os extremos x=0 e x=10.

Passo 4

Para x=10, temos x-5=5 e o termo geral vira
1n,5^n,5^n = 1n,
o que é a série harmônica, que diverge. Portanto x=10 não está no intervalo.

Passo 5

Para x=0, temos x-5=-5 e o termo geral é
1n,5^n(-5)^n = (-1)^nn
Essa é a série alternada sum (-1)^n/n, que converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

Passo 6

Com isso, o intervalo de convergência da série é [0,10).

Resposta

[0,10)

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