Calcule a derivada das seguintes funções em um ponto
, usando a definição de derivada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em um ponto qualquer $ x $ que está no domínio da função $ D_f $. Pra isso, vamos usar a definição de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial para encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, bora relembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ no ponto $ x $ é o limite da média das variações de $ f $ quando o intervalo tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
Aqui, $ h $ representa uma pequena variação em $ x $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição na função que a gente tem, $ f(x) = \frac{1}{x} $. Precisamos substituir $ f(x + h) $ e $ f(x) $ na fórmula da derivada:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Para isso, vamos encontrar um denominador comum para as frações:
Passo 5
Simplificando ainda mais, o $ h $ no numerador e no denominador se cancelam:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando $ h $ tende a zero. Como $ h $ está indo para zero, $ x + h $ se aproxima de $ x $:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ é: