Calcule a derivada das seguintes funções em um ponto x in Df, usando a definição de derivada:
f(x)=1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em um ponto qualquer $ x $ que está no domínio da função $ D_f $. Pra isso, vamos usar a definição de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial para encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, bora relembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ no ponto $ x $ é o limite da média das variações de $ f $ quando o intervalo tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
f
Aqui, $ h $ representa uma pequena variação em $ x $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição na função que a gente tem, $ f(x) = \frac{1}{x} $. Precisamos substituir $ f(x + h) $ e $ f(x) $ na fórmula da derivada:
f(x) = 1x

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Para isso, vamos encontrar um denominador comum para as frações:
f'(x) = limh to 0 x - (x + h)x(x + h)h = limh to 0 -hx(x + h)h

Passo 5

Simplificando ainda mais, o $ h $ no numerador e no denominador se cancelam:
h

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando $ h $ tende a zero. Como $ h $ está indo para zero, $ x + h $ se aproxima de $ x $:
h

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ é:
f(x) = 1x

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