Ache o intervalo onde a acurva
é côncava para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o intervalo onde a curva da função
é côncava para cima. Isso está relacionado com o cálculo das derivadas da função. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada de $ f(x) $ para determinar a concavidade da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. Por causa do Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que:
Isso é simplesmente a função dentro da integral avaliada em $ x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, $ f’’(x) $, que nos ajudará a determinar a concavidade. Para isso, precisamos derivar $ f’(x) $:
Usei a regra da cadeia aqui para derivar a função racional.
Passo 4
A concavidade para cima acontece quando a segunda derivada é positiva, ou seja, quando $ f’’(x) > 0 $. Vamos analisar quando isso ocorre:
Como o denominador
é sempre positivo (porque é um quadrado), o sinal da expressão depende do numerador.
Passo 5
Para que a expressão seja maior que zero:
Então, a segunda derivada é positiva quando $ x $ é menor que
.
Resposta
A curva $ f(x) $ é côncava para cima no intervalo $ x < -\frac{3}{2} $.