Ache o intervalo onde a acurva
f(x)=integral1^x 14+3 t+t^2 d t
é côncava para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o intervalo onde a curva da função
f(x)=integral1^x 14+3 t+t^2 , dt
é côncava para cima. Isso está relacionado com o cálculo das derivadas da função. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada de $ f(x) $ para determinar a concavidade da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. Por causa do Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que:
f(x)
Isso é simplesmente a função dentro da integral avaliada em $ x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, $ f’’(x) $, que nos ajudará a determinar a concavidade. Para isso, precisamos derivar $ f’(x) $:
f''(x)
Usei a regra da cadeia aqui para derivar a função racional.

Passo 4

A concavidade para cima acontece quando a segunda derivada é positiva, ou seja, quando $ f’’(x) > 0 $. Vamos analisar quando isso ocorre:
f''(x) > 0
Como o denominador -2x + 3(4 + 3x + x^2)^2 > 0 é sempre positivo (porque é um quadrado), o sinal da expressão depende do numerador.

Passo 5

Para que a expressão seja maior que zero:
- (2x + 3) > 0 Rightarrow 2x + 3 < 0 Rightarrow x < -32
Então, a segunda derivada é positiva quando $ x $ é menor que x .

Resposta

A curva $ f(x) $ é côncava para cima no intervalo $ x < -\frac{3}{2} $.

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