Seja a função
f(x)=integral0^x e^x^2-t^22 d t
Prove que .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=integral0^x e^x^2-t^22,dt e pede para mostrar que f'(x)-x f(x)=1 para todo x. O conteúdo principal aqui é a derivada de uma integral em que o integrando depende de x, ou seja, vamos usar a regra de Leibniz.

Passo 2

Seja g(x,t)=e^x^2-t^22. A regra de Leibniz diz que para f(x)=integral0^xg(x,t),dt vale
f'(x)=g(x,x)+integral0^xpartial gpartial x(x,t),dt

Passo 3

Calculamos primeiro g(x,x):
g(x,x)=e^x^2-x^22=e^0=1
Depois a derivada parcial:
partial gpartial x(x,t)=x,e^x^2-t^22
Substituindo em Leibniz:
f'(x)=1+integral0^xx,e^x^2-t^22,dt =1+xintegral0^xe^x^2-t^22,dt =1+x f(x)

Passo 4

Isolando f'(x)-x f(x) obtemos
f'(x)-x f(x)=1,
o que era para ser provado.

Resposta

1

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