Calcule os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o seguinte limite:
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites que envolvem integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de L’Hôpital. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo no numerador e no denominador quando $ x $ se aproxima de -1.
No numerador, temos uma integral definida de $ -x $ até 1 de $ e{t{2}} , dt $. Quando $ x $ se aproxima de -1, $ -x $ se aproxima de 1, então a integral passa a ser de 1 até 1, o que dá zero.
No denominador, temos $ x^2 - 1 $. Substituindo $ x = -1 $, temos:
Então, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, formando uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a $ x $.
Derivada do numerador:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral definida com limite variável é a função integranda avaliada no limite vezes a derivada desse limite. Aqui, o limite inferior é $ -x $, então:
Derivada do denominador:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
Vamos substituir $ x = -1 $ nessa nova expressão:
Resposta
O limite é $ \dfrac{e}{2} $.