integral(vacc x+cotg^2 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos:
integral(vacc , x + cotg^2 x)^2 dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente a cotangente ao quadrado ( cot^2 x). Para resolver isso, vamos precisar expandir o integrando e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que temos dentro da integral:
(vacc , x + cotg^2 x)^2
Aqui, parece que “ vacc” pode ser uma função trigonométrica. Supondo que seja csc x (cosecante de x), a expressão fica:
(csc x + cot^2 x)^2
Agora, vamos expandir esse quadrado para facilitar a integração.

Passo 3

Expandindo o quadrado, temos:
(csc x + cot^2 x)^2 = csc^2 x + 2 csc x cot^2 x + cot^4 x
Então, a integral original se transforma em:
integral ( csc^2 x + 2 csc x cot^2 x + cot^4 x ) dx
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos integrar termo por termo:
  1. Integral de csc^2 x:
    Sabemos que:
    integral csc^2 x , dx = -cot x + C
  2. Integral de 2 csc x cot^2 x:
    Podemos escrever $ \cot^2 x $ como $ \csc^2 x - 1 $ usando a identidade trigonométrica:
    cot^2 x
    Substituindo:
    csc^2 x - 1
    A integral fica:
    cot^2 x = csc^2 x - 1
    Aqui, integrar $ \csc^3 x $ pode ser um pouco mais complicado, mas sabemos que:
    2 csc x cot^2 x = 2 csc x (csc^2 x - 1) = 2 csc^3 x - 2 csc x
    Então:
    integral (2 csc^3 x - 2 csc x) , dx
    E:
    csc^3 x
    Portanto, combinando:
    integral csc^3 x , dx = -12 csc x cot x + 12 ln |tan x2| | + C
  3. Integral de 2 integral csc^3 x , dx = -csc x cot x + ln |tan x2| | + C :
    Podemos usar a identidade:
    2 integral (-csc x) , dx = -2 ln |tan x2| | + C
    Então:
    2 integral csc^3 x - 2 csc x , dx = -csc x cot x - ln |tan x2| | + C
    Integrando cada termo:
    • cot^4 x: Mais complicado, mas sabemos que:
      cot^4 x = (cot^2 x)^2 = (csc^2 x - 1)^2 = csc^4 x - 2 csc^2 x + 1
    • integral cot^4 x , dx = integral (csc^4 x - 2 csc^2 x + 1) , dx
    • integral csc^4 x , dx
    Portanto:
    integral csc^4 x , dx = -cot^3 x3 - cot x + x + C

Passo 5

Agora, vamos somar todas as integrais que calculamos:
integral ( csc^2 x + 2 csc x cot^2 x + cot^4 x ) dx = (-cot x) + (-csc x cot x - ln |tan x2| ) + ( -cot^3 x3 + x ) + C
Simplificando os termos:
-cot x - csc x cot x - ln |tan x2| - cot^3 x3 + x + C

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
-cot x - csc x cot x - ln | tan x2 | - cot^3 x3 + x + C
Onde C é a constante de integração.

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