Ache a inversa de A pelo método aprendido.
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right]
e pede: encontrar a inversa de A, ou seja, uma matriz A^{-1} tal que
A A^{-1}=A^{-1}A=I,
onde I é a matriz identidade 3\times3.

Passo 2

Vou usar o método de Gauss–Jordan (o método aprendido) para achar A^{-1}. Ideia básica (explicação didática e curta): se a gente aplica sobre A uma sequência de operações elementares de linha que transforma A em I, então essas mesmas operações, aplicadas à matriz identidade, produzem A^{-1}. Por isso montamos a matriz aumentada [A\,|\,I] e reduzimos até [I\,|\,A^{-1}].
Operações elementares de linha permitidas (lembrando): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar a um múltiplo de uma linha outra linha. Essas operações correspondem a multiplicação à esquerda por matrizes elementares, e a composição delas é exatamente a multiplicação por A^{-1} quando o resultado leva A em I.
Começamos formando a matriz aumentada [A\,|\,I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Objetivo: obter um 1 na posição (1,1) e zerar as entradas abaixo/ acima conforme necessário. Primeiro, anulo a entrada (3,1) usando R_3\leftarrow R_3-R_1. Isso é uma operação elementar válida (somar a uma linha um múltiplo de outra):
R_3\leftarrow R_3-R_1
Calculando linha a linha:
  • R_3 (antes) = [2\;,\;1\;,\;1\;|\;0\;,\;0\;,\;1].
  • R_1 (antes) = [2\;,-1\;,\;3\;|\;1\;,\;0\;,\;0].
    Subtraindo: R_3 vira [0\;,\;2\;,\;-2\;|\;-1\;,\;0\;,\;1].
Matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 4

Agora quero o pivô unitário em (1,1). Faço R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1 (multiplicar linha por escalar não nulo):
R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1.
Calculando:
R_1 vira [1\;,\;-{\tfrac{1}{2}}\;,\;{\tfrac{3}{2}}\;|\;{\tfrac{1}{2}}\;,\;0\;,\;0].
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 5

Quero zerar as outras entradas da coluna 2 (usar o pivô já perfeito em (2,2)=1). Operações:
R_1\leftarrow R_1 + \tfrac{1}{2}R_2, \qquad R_3\leftarrow R_3 - 2R_2.
Cálculos:
  • Para R_1: a segunda entrada era -\tfrac{1}{2}; somando \tfrac{1}{2}\times1 zera essa posição. O resto da linha:
    • entrada 3: \tfrac{3}{2}+ \tfrac{1}{2}\cdot 0=\tfrac{3}{2}.
    • parte aumentada: \tfrac{1}{2}+ \tfrac{1}{2}\cdot 0=\tfrac{1}{2}, 0+\tfrac{1}{2}\cdot1=\tfrac{1}{2}, 0+\tfrac{1}{2}\cdot0=0.
      Então R_1 vira [1\;,\;0\;,\;\tfrac{3}{2}\;|\;\tfrac{1}{2}\;,\;\tfrac{1}{2}\;,\;0].
  • Para R_3: R_3-(2)R_2:
    • segunda entrada: 2-2\cdot1=0.
    • terceira entrada: -2-2\cdot0=-2.
    • parte aumentada: -1-2\cdot0=-1, 0-2\cdot1=-2, 1-2\cdot0=1.
      Então R_3 vira [0\;,\;0\;,\;-2\;|\;-1\;,\;-2\;,\;1].
Matriz aumentada agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & -1 & -2 & 1 \end{array}\right]

Passo 6

Agora resolvo a terceira coluna. O pivô em (3,3) é -2. Faço R_3\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_3 para obter 1 nessa posição:
R_3\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_3.
Calculando:
  • Terceira entrada passa de -2 para 1.
  • Parte aumentada: -1 vezes -\tfrac{1}{2} \tfrac{1}{2}; -2 vezes -\tfrac{1}{2} 1; 1 vezes -\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{2}.
Assim R_3 vira [0\;,\;0\;,\;1\;|\;\tfrac{1}{2}\;,\;1\;,\;-\tfrac{1}{2}].
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right]

Passo 7

Elimino as entradas não nulas na coluna 3 acima do pivô R_3. Só R_1 tem entrada \tfrac{3}{2} na coluna 3. Faço
R_1\leftarrow R_1 - \tfrac{3}{2}R_3.
Calculemos a parte aumentada de R_1:
  • Primeiro bloco (esquerda) ficará [1\;,\;0\;,\;0] após a operação (porque o \tfrac{3}{2} na coluna 3 é eliminado).
  • Para a parte aumentada:
    • primeira coluna: \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{4} = -\tfrac{1}{4}.
    • segunda coluna: \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2} = -1.
    • terceira coluna: 0 - \tfrac{3}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 0 + \tfrac{3}{4} = \tfrac{3}{4}.
Assim R_1 vira [1\;,\;0\;,\;0\;|\;-\tfrac{1}{4}\;,\;-1\;,\;\tfrac{3}{4}].
R_2 não precisa de alteração pois já tem zero na coluna 3.
Agora a matriz aumentada está reduzida para a forma [I\,|\,B]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{4} & -1 & \tfrac{3}{4} \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right]

Passo 8

Interpretação final (resumo didático): chegamos a [I\,|\,B]. Pela teoria do método de Gauss–Jordan, a matriz B encontrada à direita é exatamente a inversa de A, pois as operações que transformaram A em I correspondem a multiplicar A pela matriz resultante B e obter I. Podemos checar rapidamente que A\cdot B=I (confere se quiser), mas matematicamente o procedimento já garante isso.
Portanto a inversa é a matriz B mostrada acima.

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} -\tfrac{1}{4} & -1 & \tfrac{3}{4} \\\\ 0 & 1 & 0 \\\ \tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right]

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