e pede: encontrar a inversa de A, ou seja, uma matriz A^{-1} tal que
A A^{-1}=A^{-1}A=I,
onde I é a matriz identidade 3\times3.
Passo 2
Vou usar o método de Gauss–Jordan (o método aprendido) para achar A^{-1}. Ideia básica (explicação didática e curta): se a gente aplica sobre A uma sequência de operações elementares de linha que transforma A em I, então essas mesmas operações, aplicadas à matriz identidade, produzem A^{-1}. Por isso montamos a matriz aumentada [A\,|\,I] e reduzimos até [I\,|\,A^{-1}].
Operações elementares de linha permitidas (lembrando): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar a um múltiplo de uma linha outra linha. Essas operações correspondem a multiplicação à esquerda por matrizes elementares, e a composição delas é exatamente a multiplicação por A^{-1} quando o resultado leva A em I.
Objetivo: obter um 1 na posição (1,1) e zerar as entradas abaixo/ acima conforme necessário. Primeiro, anulo a entrada (3,1) usando R_3\leftarrow R_3-R_1. Isso é uma operação elementar válida (somar a uma linha um múltiplo de outra):
Interpretação final (resumo didático): chegamos a [I\,|\,B]. Pela teoria do método de Gauss–Jordan, a matriz B encontrada à direita é exatamente a inversa de A, pois as operações que transformaram A em I correspondem a multiplicar A pela matriz resultante B e obter I. Podemos checar rapidamente que A\cdot B=I (confere se quiser), mas matematicamente o procedimento já garante isso.