Considere os operadores lineares do
.
Determinar as matrizes dos operadores lineares
com relação a base canônica do
.
Determinar as matrizes dos operadores lineares
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o operador linear
definido por . - Dado o operador linear
definido por . - Pede-se as matrizes dos operadores compostos
e em relação à base canônica de .
Passo 2
Como montar a matriz de um operador linear na base canônica (explicação didática e prática):
- Na base canônica
, a matriz de um operador linear tem como primeira coluna e como segunda coluna . Isso acontece porque qualquer vetor é , e a ação linear de é determinada pelos vetores e . - Vamos aplicar isso a
e .
Calcule
e
:
Portanto a matriz de
na base canônica é
Calcule
e
:
Portanto a matriz de
na base canônica é
que é simplesmente
, o negativo da matriz identidade.]
Passo 3
Como obter a matriz da composição:
- Se
e são as matrizes de e na mesma base, a matriz da composição (que aplica primeiro e depois ) é o produto matricial
- Similarmente, a matriz de
é .
Explicação curta do porquê: aplicar
a um vetor corresponde a multiplicar por
; em seguida aplicar
corresponde a multiplicar por
. O resultado total é
.
Passo 4
Calcule
passo a passo:
Multiplicando coluna por coluna (ou pela regra geral de produto):
Passo 5
Calcule
passo a passo:
Passo 6
Verificação rápida aplicando aos vetores:
-
, que corresponde à matriz . -
, que corresponde à matriz .
Ótimo trabalho até aqui — já dá pra ver claramente como composições afetam as colunas!]