Considere os operadores lineares do R^{2}: F(x, y)=(x+2 y, y) e G(x, y)=(-x,-y).
Determinar as matrizes dos operadores lineares F \circ G e F \circ F com relação a base canônica do R^{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o operador linear F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por F(x,y)=(x+2y,y).
  • Dado o operador linear G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por G(x,y)=(-x,-y).
  • Pede-se as matrizes dos operadores compostos F\circ G e F\circ F em relação à base canônica de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Como montar a matriz de um operador linear na base canônica (explicação didática e prática):
  • Na base canônica \{e_1=(1,0),\,e_2=(0,1)\}, a matriz de um operador linear T tem como primeira coluna T(e_1) e como segunda coluna T(e_2). Isso acontece porque qualquer vetor (x,y) é x e_1 + y e_2, e a ação linear de T é determinada pelos vetores T(e_1) e T(e_2).
  • Vamos aplicar isso a F e G.
Calcule F(e_1) e F(e_2):
F(1,0)=(1+2\cdot0,0)=(1,0), \qquad F(0,1)=(0+2\cdot1,1)=(2,1).
Portanto a matriz de F na base canônica é
A_F=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calcule G(e_1) e G(e_2):
G(1,0)=(-1,0), \qquad G(0,1)=(0,-1).
Portanto a matriz de G na base canônica é
A_G=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},
que é simplesmente -I, o negativo da matriz identidade.]

Passo 3

Como obter a matriz da composição:
  • Se A_F e A_G são as matrizes de F e G na mesma base, a matriz da composição F\circ G (que aplica G primeiro e depois F) é o produto matricial
A_{F\circ G}=A_F\,A_G.
  • Similarmente, a matriz de F\circ F é A_F^2=A_F\,A_F.
Explicação curta do porquê: aplicar G a um vetor corresponde a multiplicar por A_G; em seguida aplicar F corresponde a multiplicar por A_F. O resultado total é A_F(A_G v)=(A_F A_G)v.

Passo 4

Calcule A_{F\circ G}=A_F A_G passo a passo:
A_F=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad A_G=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Multiplicando coluna por coluna (ou pela regra geral de produto):
A_F A_G = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+2\cdot0 & 1\cdot0 + 2\cdot(-1)\\[4pt] 0\cdot(-1)+1\cdot0 & 0\cdot0 + 1\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcule A_{F\circ F}=A_F^2 passo a passo:
A_F^2 = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot0 & 1\cdot2 + 2\cdot1\\[4pt] 0\cdot1 + 1\cdot0 & 0\cdot2 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida aplicando aos vetores:
  • F\circ G(x,y)=F(-x,-y)=(-x-2y,-y), que corresponde à matriz \begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
  • F\circ F(x,y)=F(x+2y,y)=(x+4y,y), que corresponde à matriz \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
    Ótimo trabalho até aqui — já dá pra ver claramente como composições afetam as colunas!]

Resposta

A_{F\circ G}=\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}
A_{F\circ F}=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}]

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