Resolva o sistema de equações lineares:
\begin{gathered} 2 x-y+3 z=3 \\ y=-2 \\ 2 x+y+z=1 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e encontrar os valores de (x,y,z). As equações dadas são:
2x-y+3z=3
y=-2
2x+y+z=1
Informações relevantes fornecidas:
  • A segunda equação já dá o valor de \,y: \,y=-2.
  • As outras duas equações relacionam \,x e \,z (além de \,y).

Passo 2

Escolha do método: como a equação \,y=-2 isola diretamente uma variável, o método mais simples é o método da substituição. Explicando o método da substituição de forma didática: quando uma das equações dá diretamente uma variável em função de constantes ou de outras variáveis, substitui-se esse valor nas demais equações para reduzir o número de incógnitas. Isso transforma o sistema original em outro sistema com menos incógnitas, que é mais fácil de resolver. Exemplo rápido e simples: se tivesse \,y=1 e \,x+y=4, ao substituir \,y=1 na segunda obtemos \,x+1=4 e então \,x=3. Mesmo raciocínio será usado aqui.

Passo 3

Substituir \,y=-2 nas equações que contêm \,y.
Substituindo em \,2x-y+3z=3:
2x-(-2)+3z=3
Agora simplifica-se o sinal:
2x+2+3z=3
Isolando os termos em x e z do lado esquerdo e passando o 2 para o outro lado:
2x+3z=3-2
2x+3z=1

Passo 4

Substituindo \,y=-2 em \,2x+y+z=1:
2x+(-2)+z=1
Simplifica-se:
2x-2+z=1
Isolando termos:
2x+z=1+2
2x+z=3
Agora o sistema foi reduzido a duas equações com duas incógnitas \,x e \,z:
2x+3z=1
2x+z=3

Passo 5

Resolver o sistema reduzido por eliminação: subtrai-se a segunda equação da primeira para eliminar \,x.
Fazendo (2x+3z)-(2x+z) no lado esquerdo e 1-3 no lado direito:
(2x+3z)-(2x+z)=1-3
Os termos \,2x se cancelam:
2z=-2
Logo:
z=\frac{-2}{2}=-1

Passo 6

Agora que \,z=-1 foi encontrado, substitui-se esse valor em uma das equações reduzidas para achar \,x. Usando \,2x+z=3:
2x+(-1)=3
2x-1=3
Somando 1 em ambos os lados:
2x=4
Dividindo por 2:
x=2

Passo 7

Já sabemos \,y=-2 (dado), \,x=2 e \,z=-1. Sempre é bom verificar substituindo os três valores nas equações originais:
Verificação na primeira equação \,2x-y+3z=3:
2\cdot(2)-(-2)+3\cdot(-1)=4+2-3=3
Confere.
Verificação na segunda equação \,y=-2: é exatamente o dado, confere.
Verificação na terceira equação \,2x+y+z=1:
2\cdot(2)+(-2)+(-1)=4-2-1=1
Confere.

Passo 8

Pronto — o sistema está resolvido e verificado. Mandou bem de escolher substituir desde o início; quando uma variável já vem isolada a substituição costuma ser a via mais rápida e segura. Vai com confiança para a prova!

Resposta

x=2
y=-2
z=-1

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