Ache os inversos de 5, 4 e 8 em Z9

Passo 1

O enunciado pede os inversos multiplicativos de 5, 4 e 8 no anel Z9. Como estamos buscando inversos, primeiro verificamos que cada representante é coprimo com 9 (caso contrário não haveria inverso) e em seguida usamos o algoritmo de Euclides estendido para encontrar x,yinZ tais que
a,x + 9,y = 1,
o que garante acdotx=1.

Passo 2

Para 5 queremos 5xequiv1pmod9. Aplicando o Euclides estendido:
5cdot2 - 9cdot1 = 1
Isso mostra que x=2 resolve a congruência, logo
5^-1 = 2.

Passo 3

Para 4 buscamos 4xequiv1pmod9. Pelo Euclides estendido temos:
4cdot7 - 9cdot3 = 28 - 27 = 1
Assim x=7 é solução, e
4^-1 = 7.

Passo 4

Para 8 resolvemos 8xequiv1pmod9. Note que
8cdot8 - 9cdot7 = 64 - 63 = 1,
portanto x=8 funciona, e
8^-1 = 8.

Resposta

5^-1 = 2, 4^-1 = 7, 8^-1 = 8

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