Ache os inversos de 3, 5, e 7 em Z8

Passo 1

O enunciado pede para determinar os inversos multiplicativos de 3, 5 e 7 no anel Z8. O conteúdo principal é aritmética modular, e vamos precisar do critério de invertibilidade via gcd e, para um caso, do Algoritmo de Euclides Estendido.

Passo 2

Em Zn, um elemento a tem inverso se e somente se gcd(a,n)=1. Verificamos:
gcd(3,8)=1, gcd(5,8)=1 e gcd(7,8)=1.
Como todas são iguais a 1, 3, 5 e 7 são invertíveis em Z8.

Passo 3

Para achar o inverso de 3, usamos o Algoritmo de Euclides Estendido entre 3 e 8:
8 = 3cdot2 + 2
3 = 2cdot1 + 1
2 = 8 - 3cdot2
1 = 3 - 2cdot1 = 3 - (8 - 3cdot2) = 3cdot3 - 8cdot1
Da última linha temos a combinação de Bézout
3cdot3 + 8cdot(-1) = 1,
logo o inverso de 3 em Z8 é 3.

Passo 4

Para 5 e 7, basta testar qual elemento multiplicado por eles dá 1. Observamos:
5cdot5 = 25 equiv 1 pmod8,
7cdot7 = 49 equiv 1 pmod8
Portanto, os inversos são 5 e 7, respectivamente.

Resposta

3^-1 = 3
5^-1 = 5
7^-1 = 7

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