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, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
da série
e usar o teste da raiz para determinar se essa série converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta clara. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o limite da raiz
-ésima e como aplicar o teste da raiz nas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
na série dada. Aqui,
. Nosso objetivo é calcular o limite
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Simplificando cada parte:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
. Portanto:
Então, o limite fica:
Passo 5
Agora, aplicamos o teste da raiz, que diz:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o limite é
, que é menor que 1.
Resposta
A série
converge pelo teste da raiz.