Ache lim n infty raiz[n]an, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty n^1010^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da série e usar o teste da raiz para determinar se essa série converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta clara. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o limite da raiz -ésima e como aplicar o teste da raiz nas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar na série dada. Aqui, . Nosso objetivo é calcular o limite .

Passo 3

Vamos calcular raiz[n]an = raiz[n]n^1010^n = raiz[n]n^10raiz[n]10^n :
raiz[n]n^10 = n^10/n
Simplificando cada parte:
raiz[n]10^n = 10^n/n = 10
raiz[n]an = n^10/n10
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn infty n^10/n10 tende ao infinito:
limn infty n^10/n = (limn infty n^1/n)^10 = 1^10 = 1
Sabemos que limn infty raiz[n]an = 110 = 0,1 . Portanto:
Então, o limite fica:

Passo 5

Agora, aplicamos o teste da raiz, que diz:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o limite é , que é menor que 1.

Resposta

A série converge pelo teste da raiz.

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