Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n 3^2 n5^n-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty n3^2n5^n-1 converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar aqui o teste da razão, já que temos um termo com potência de n.

Passo 2

Para facilitar os cálculos, note que 3^2n=9^n. Assim podemos escrever o termo geral como:
an = n,3^2n5^n-1 = n9^n5^n-1 = 5n(95)^n
Ficamos com uma forma do tipo n r^n, em que r=9/5.

Passo 3

O teste da razão estabelece que
L = limntoinfty|an+1an|
se for maior que 1, a série diverge. Calculando a razão:
an+1an = 5(n+1)(95)^n+15n(95)^n = n+1ncdot95
Tomando o limite, temos
L = limntoinftyn+1ncdot95 = 1cdot95 = 95 > 1

Passo 4

Como L>1, o teste da razão mostra que a série diverge. Além disso, o termo geral an=5n(9/5)^n não tende a zero (na verdade cresce), confirmando que não há convergência.

Resposta

A série diverge.

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