Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 99^n(n^5+2)n^2 10^2 n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^infty99^n(n^5+2)n^2,10^2n. O conteúdo envolve séries numéricas e vamos usar o teste da razão para verificar se ela converge.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral da série: escrevemos 10^2n=(10^2)^n=100^n. Assim,
an = 99^n(n^5+2)n^2,100^n = l(99100r)^n,n^5+2n^2

Passo 3

Em seguida, aplicamos o teste da razão. Calculamos
L = limntoinfty l|an+1anr|

Passo 4

Substituindo an e an+1 temos
an+1an = l(99100r)^n+1,(n+1)^5+2(n+1)^2l(99100r)^n,n^5+2n^2 = 99100,n^2l((n+1)^5+2r)(n^5+2),(n+1)^2

Passo 5

Para ntoinfty,
n^2,(n+1)^5(n^5+2),(n+1)^2 = (n+1)^3n^3xrightarrow[ntoinfty]1

Passo 6

Logo,
L = 99100times 1 = 0.99 < 1

Passo 7

Como no teste da razão o limite L<1, concluímos que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

Exercícios relacionados