Ache lim n infty raiz[n]an, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty 2^nn^2

Passo 1

Vamos analisar o limite e usar o teste da raiz para verificar se a série converge ou diverge. O teste da raiz é uma ferramenta na matemática que nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas, observando o limite da raiz enésima dos termos gerais da série.

Passo 2

Primeiro, identificamos . Queremos encontrar , que é basicamente .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
raiz[n]2^nn^2 = raiz[n]2^nraiz[n]n^2
Sabemos que , porque elevado à simplifica para 2.

Passo 4

Agora, calculamos raiz[n]n^2 = n^2/n = (n^1/n)^2 :
limn infty n^2/n = 1^2 = 1
Sabemos que , então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
limn infty raiz[n]2^nn^2 = 21 = 2

Passo 6

Usando o teste da raiz: se o limite .
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, .

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz.

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