A equação
é conhecida como equação de Chebyshev de primeiro tipo.
Mostre que se
for um inteiro par não negativo então uma das soluções em série termina e torna-se um polinômio de grau
contendo apenas potências pares de
.
Mostre que se
Passo 1
Temos a equação de Chebyshev de primeiro tipo
O que queremos mostrar é que, para
(n inteiro não negativo), existe uma solução em série que termina e vira um polinômio de grau
contendo apenas potências pares de
.
Passo 2
Vamos buscar uma solução em séries em torno de
, assumindo
Dessa forma, suas derivadas são
Passo 3
Agora substituímos
na equação diferencial:
Reindexando somas para ter todas em
e coletando termos de mesmo grau, chegamos à relação de recorrência para
:
Passo 4
ou seja
Passo 5
Passo 6
Note que a recorrência liga
a
. Para construir a solução com somente potências pares, escolhemos
, garantindo que todos os
. Assim obtemos uma série em
.
Passo 7
Se agora fixamos
, quando
o numerador da recorrência fica
o que dá
. Pela forma da recorrência, todos os coeficientes
também são zero. Logo a série termina em
.
Passo 8
Concluímos que para
existe uma solução em série que para em
, ou seja, um polinômio de grau
com apenas potências pares de
.
Resposta
Para
(n inteiro não negativo), a recorrência leva a
, encerrando a série em grau
e produzindo um polinômio de grau
contendo somente potências pares de
.