A equação
(1-x^2)^prime prime-x y^prime+alpha^2 y=0
é conhecida como equação de Chebyshev de primeiro tipo.
Mostre que se alpha=2 n for um inteiro par não negativo então uma das soluções em série termina e torna-se um polinômio de grau 2 n contendo apenas potências pares de x.

Passo 1

Temos a equação de Chebyshev de primeiro tipo
(1-x^2)y''-x y'+alpha^2 y=0
O que queremos mostrar é que, para alpha=2n (n inteiro não negativo), existe uma solução em série que termina e vira um polinômio de grau 2n contendo apenas potências pares de x.

Passo 2

Vamos buscar uma solução em séries em torno de x=0, assumindo
y(x)=sumk=0^infty ak x^k
Dessa forma, suas derivadas são
y'(x)=sumk=1^infty k,ak x^k-1,
y''(x)=sumk=2^infty k(k-1),ak x^k-2

Passo 3

Agora substituímos y, y', y'' na equação diferencial:
(1-x^2)sumk=2^infty k(k-1)ak x^k-2-xsumk=1^infty k ak x^k-1+alpha^2sumk=0^infty ak x^k=0
Reindexando somas para ter todas em x^m e coletando termos de mesmo grau, chegamos à relação de recorrência para m>=0:

Passo 4

(m+2)(m+1)am+2-m^2 am+alpha^2 am=0
ou seja

Passo 5

am+2=m^2-alpha^2(m+1)(m+2),am

Passo 6

Note que a recorrência liga am+2 a am. Para construir a solução com somente potências pares, escolhemos a1=0, garantindo que todos os a2k+1=0. Assim obtemos uma série em x^2k.

Passo 7

Se agora fixamos alpha=2n, quando m=2n o numerador da recorrência fica
(2n)^2-alpha^2=(2n)^2-(2n)^2=0,
o que dá a2n+2=0. Pela forma da recorrência, todos os coeficientes a2n+4,a2n+6,dots também são zero. Logo a série termina em k=2n.

Passo 8

Concluímos que para alpha=2n existe uma solução em série que para em x^2n, ou seja, um polinômio de grau 2n com apenas potências pares de x.

Resposta

Para alpha=2n (n inteiro não negativo), a recorrência leva a a2n+2=0, encerrando a série em grau 2n e produzindo um polinômio de grau 2n contendo somente potências pares de x.

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