Mostre que se
é solução em série de potências da equação
então
são soluções fundamentais da equação.
Passo 1
O enunciado nos dá a solução geral em série de potências de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, escrita como
e pede para mostrar que
são soluções fundamentais de
Vamos usar teoria de EDOs, linearidade e Wronskiano.
Passo 2
Pela linearidade da equação, se
satisfaz a EDO para quaisquer constantes
, então cada termo separadamente também satisfaz. Ou seja, substituindo
(tomando
) obtemos
e de modo análogo para
. Assim
e
são soluções.
Passo 3
Para verificar que são fundamentalmente independentes, calculamos o Wronskiano
No ponto
temos
logo
Como o Wronskiano não se anula,
e
são linearmente independentes.
Passo 4
Sendo
e
duas soluções linearmente independentes de uma EDO linear de segunda ordem, elas formam um par fundamental. Portanto a solução geral se escreve
e coincide com a forma dada no enunciado.
Resposta
As séries
e
formam soluções fundamentais da equação, pois cada uma satisfaz a EDO dada e seu Wronskiano é não nulo, garantindo independência linear.
formam soluções fundamentais da equação, pois cada uma satisfaz a EDO dada e seu Wronskiano é não nulo, garantindo independência linear.