Mostre que se
y(x)=a0(1+sumn=2^infty bn x^n)+a1(x+sumn=2^infty cn x^n)
é solução em série de potências da equação
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0
então
y1=1+sumn=2^infty bn x^n ; y2=x+sumn=2^infty cn x^n
são soluções fundamentais da equação.

Passo 1

O enunciado nos dá a solução geral em série de potências de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, escrita como
y(x)=a0l(1+sumn=2^inftybnx^nr)+a1l(x+sumn=2^inftycnx^nr)
e pede para mostrar que
y1(x)=1+sumn=2^inftybnx^n, y2(x)=x+sumn=2^inftycnx^n
são soluções fundamentais de
P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0
Vamos usar teoria de EDOs, linearidade e Wronskiano.

Passo 2

Pela linearidade da equação, se y=a0y1+a1y2 satisfaz a EDO para quaisquer constantes a0,a1, então cada termo separadamente também satisfaz. Ou seja, substituindo y=y1 (tomando a0=1,a1=0) obtemos
P(x)y1''+Q(x)y1'+R(x)y1=0
e de modo análogo para y=y2. Assim y1 e y2 são soluções.

Passo 3

Para verificar que são fundamentalmente independentes, calculamos o Wronskiano
W(y1,y2)(x)=y1(x)y2'(x)-y1'(x)y2(x)
No ponto x=0 temos
y1(0)=1, y1'(0)=0, y2(0)=0, y2'(0)=1,
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W(y1,y2)(0)=1cdot1-0cdot0=1neq0
Como o Wronskiano não se anula, y1 e y2 são linearmente independentes.

Passo 4

Sendo y1 e y2 duas soluções linearmente independentes de uma EDO linear de segunda ordem, elas formam um par fundamental. Portanto a solução geral se escreve
y=C1y1(x)+C2y2(x)
e coincide com a forma dada no enunciado.

Resposta

As séries
y1(x)=1+sumn=2^inftybnx^n e
y2(x)=x+sumn=2^inftycnx^n
formam soluções fundamentais da equação, pois cada uma satisfaz a EDO dada e seu Wronskiano é não nulo, garantindo independência linear.

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