Ache lim n infty raiz[n]an, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty (ln n)^nn^n / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite onde . Além disso, vamos usar o Teste da Raiz para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como calcular limites de sequência e aplicar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite limn infty raiz[n](ln n)^nn^n / 2 = limn infty raiz[n](ln n)^nraiz[n]n^n / 2 . Substituindo na expressão, temos:

Passo 3

Simplificando as raízes, lembrando que raiz[n](ln n)^nraiz[n]n^n / 2 = ln nn^1/2 , obtemos:
limn infty ln nraizn
Então, o limite agora é:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Sabemos que a função logarítmica cresce mais lentamente do que qualquer função potência de . Portanto, conforme aumenta, cresce muito mais rápido que .

Passo 5

Com isso, podemos concluir que:
limn infty ln nraizn = 0

Passo 6

Agora que encontramos o limite , vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste nos diz que se o limite :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 7

No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, pelo Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Raiz.

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