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, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite
onde
. Além disso, vamos usar o Teste da Raiz para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como calcular limites de sequência e aplicar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite
. Substituindo
na expressão, temos:
Passo 3
Simplificando as raízes, lembrando que
, obtemos:
Então, o limite agora é:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que a função logarítmica
cresce mais lentamente do que qualquer função potência de
. Portanto, conforme
aumenta,
cresce muito mais rápido que
.
Passo 5
Com isso, podemos concluir que:
Passo 6
Agora que encontramos o limite
, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste nos diz que se o limite
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 7
No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, pelo Teste da Raiz, a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Raiz.