Ache lim n infty raiz[n]an, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty n3^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o limite lim n infty raiz[n]an para a sequência an = n3^n. Isso vai nos ajudar a usar o Teste da Raiz (Teste da Raiz) para descobrir se a série sumn=1^infty n3^n converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa raiz[n]an. Isso é a raiz enésima de an, ou seja, raiz[n]n3^n. A ideia é simplificar isso para encontrar o limite quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:
raiz[n]n3^n = raiz[n]nraiz[n]3^n
Sabemos que raiz[n]3^n = 3, já que a raiz enésima de 3^n é justamente 3.

Passo 4

Agora, precisamos calcular limn to infty raiz[n]n. Sabemos que limn to infty raiz[n]n = 1. Isso porque, conforme n cresce, a raiz enésima de n se aproxima de 1.

Passo 5

Então, juntando tudo:
limn to infty raiz[n]n3^n = 13
Isso significa que o limite é 13.

Passo 6

Agora, aplicamos o Teste da Raiz. Se o limite for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 7

No nosso caso, o limite é 13 < 1. Portanto, pela conclusão do Teste da Raiz, a série sumn=1^infty n3^n converge absolutamente.

Resposta

O limite lim n infty raiz[n]n3^n é 13. Pelo Teste da Raiz, como 13 < 1, a série sumn=1^infty n3^n converge.

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