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, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o limite
para a sequência
. Isso vai nos ajudar a usar o Teste da Raiz (Teste da Raiz) para descobrir se a série
converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é a raiz enésima de
, ou seja,
. A ideia é simplificar isso para encontrar o limite quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que
, já que a raiz enésima de
é justamente 3.
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que
. Isso porque, conforme
cresce, a raiz enésima de
se aproxima de 1.
Passo 5
Então, juntando tudo:
Isso significa que o limite é
.
Passo 6
Agora, aplicamos o Teste da Raiz. Se o limite for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 7
No nosso caso, o limite é
. Portanto, pela conclusão do Teste da Raiz, a série
converge absolutamente.
Resposta
O limite
é
. Pelo Teste da Raiz, como
, a série
converge.