Ache lim n infty raiz[n]an, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=2^infty 5^n+1(ln n)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite e usar o teste da raiz (que é uma ferramenta da matéria de séries infinitas) para descobrir se a série converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta definitiva. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar o teste da raiz e calcular o limite da raiz enésima do termo geral da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Nosso objetivo é calcular .

Passo 3

Vamos calcular . Isso pode ser reescrito como .

Passo 4

Simplificando, temos . Sabemos que, quando tende ao infinito, tende a 1, porque qualquer número elevado a uma potência que vai para zero dá 1.

Passo 5

Então, . Agora, vamos calcular o limite disso quando vai para o infinito.

Passo 6

Sabemos que cresce sem limite conforme aumenta, ou seja, quando . Assim, tende a 0.

Passo 7

Portanto, .

Passo 8

Agora, vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste diz que:
  • Se o limite , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 9

No nosso caso, encontramos que , que é menor que 1. Então, pela regra do teste da raiz, a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste da raiz.

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