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, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite
e usar o teste da raiz (que é uma ferramenta da matéria de séries infinitas) para descobrir se a série
converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta definitiva. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar o teste da raiz e calcular o limite da raiz enésima do termo geral da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é
. Nosso objetivo é calcular
.
Passo 3
Vamos calcular
. Isso pode ser reescrito como
.
Passo 4
Simplificando, temos
. Sabemos que, quando
tende ao infinito,
tende a 1, porque qualquer número elevado a uma potência que vai para zero dá 1.
Passo 5
Então,
. Agora, vamos calcular o limite disso quando
vai para o infinito.
Passo 6
Sabemos que
cresce sem limite conforme
aumenta, ou seja,
quando
. Assim,
tende a 0.
Passo 7
Portanto,
.
Passo 8
Agora, vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste diz que:
- Se o limite
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 9
No nosso caso, encontramos que
, que é menor que 1. Então, pela regra do teste da raiz, a série
converge.
Resposta
A série converge pelo teste da raiz.