Ache lim n infty raiz[n]an, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=2^infty(nln n)^n

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o limite quando tende ao infinito da enésima raiz de , onde . Depois disso, vamos usar o Teste da Raiz para descobrir se a série converge, diverge ou se o teste não consegue dar uma resposta clara. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e como aplicar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta pra estudar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite raiz[n]an = raiz[n](nln n)^n = nln n . Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o limite de limn infty nln n = infty quando tende ao infinito. À medida que cresce, também cresce, mas muito mais devagar que . Então, o limite será:

Passo 4

Com esse limite, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste diz que se :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , que é maior que 1.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Raiz.

Exercícios relacionados