Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 2n^3+e^n

Passo 1

Temos a série de termos positivos sumn=1^infty 2n^3+e^n. O conteúdo aqui é testes de convergência de séries de termos positivos e vamos aplicar o critério da razão de D’Alembert, que exige calcular limntoinfty l|an+1/anr|.

Passo 2

Definimos an=dfrac2n^3+e^n. Pelo critério da razão, consideramos
an+1an = 2(n+1)^3+e^n+12n^3+e^n = n^3+e^n(n+1)^3+e^n+1

Passo 3

Para calcular o limite, observamos que e^n cresce muito mais rápido que n^3. Então
limntoinftyn^3+e^n(n+1)^3+e^n+1 = limntoinftye^nl(1+n^3e^nr)e^n+1l(1+(n+1)^3e^n+1r) = 1e

Passo 4

Como o limite 1/e é menor que 1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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