Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
, onde a curva
é parametrizada por
e
, com
variando de 0 a 2. Vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva parametrizada por
:
No nosso caso, a função que vamos integrar é
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da integral de linha, temos:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso implica que:
Passo 6
Agora, vamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
- Quando
, . - Quando
, .
Substituindo na integral, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de
:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral
é igual a
. Calculando numericamente:
Portanto, o valor aproximado da integral é 32,30.