integralC y^3 d s, C: x=t^3, y=t, 0 <= t <= 2

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha , onde a curva é parametrizada por e , com variando de 0 a 2. Vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva parametrizada por integralC f(x, y) , ds = integrala^b f(x(t), y(t)) raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt :
No nosso caso, a função que vamos integrar é .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de dxdt = ddt t^3 = 3t^2 e dydt = ddt t = 1 em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da integral de linha, temos:
integralC y^3 , ds = integral0^2 t^3 raiz(3t^2)^2 + (1)^2 , dt = integral0^2 t^3 raiz9t^4 + 1 , dt

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja dudt = 36t^3 . Então, a derivada de t^3 dt = du36 em relação a é:
Isso implica que:

Passo 6

Agora, vamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando integral0^2 t^3 raiz9t^4 + 1 , dt = 136 integral1^145 raizu , du , .
  • Quando , .
Substituindo na integral, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de integral raizu , du = 23 u^3/2 + C :
136 [ 23 u^3/2 ]1^145 = 154 ( 145^3/2 - 1 )
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A integral 154 ( 145^3/2 - 1 ) approx 154 ( 1746.817 - 1 ) approx 1745.81754 approx 32.30 é igual a . Calculando numericamente:
Portanto, o valor aproximado da integral é 32,30.

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