Ache lim n infty raiz[n]an, e use o teste da raiz
para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=2^infty 5^n+1(ln n)^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da n-ésima raiz dos termos an = 5^n+1(ln n)^n e usar o teste da raiz para verificar convergência da série sumn=2^infty an. O conteúdo é o teste da raiz em séries numéricas e vamos precisar da definição de L = limntoinfty raiz[n]|an|.

Passo 2

O teste da raiz diz que, se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Começamos calculando a n-ésima raiz de an:
raiz[n]an = raiz[n]5^n+1(ln n)^n = l(5^n+1r)^1/n(ln n)^n/n = 5^(n+1)/nln n

Passo 4

Reescrevendo 5^(n+1)/n = 5cdot 5^1/n, temos
raiz[n]an = 5cdot 5^1/nln n

Passo 5

Agora tomamos o limite quando n to infty. Sabemos que 5^1/nto1 e ln ntoinfty. Logo,
limntoinfty raiz[n]an = limntoinfty 5cdot 5^1/nln n = 5cdot1infty = 0

Passo 6

Como o limite L=0<1, o teste da raiz garante que a série sumn=2^infty 5^n+1(ln n)^n converge absolutamente.

Resposta

limntoinftyraiz[n]an = 0. Como 0<1, a série converge pelo teste da raiz.

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